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1、第一章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模,玩具、照片、飞机、火箭模型, 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图、分子结构图, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.,1.1 从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速为20km/h.,甲乙两地相距750km，船从甲
2、到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?,x=20y =5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速为20km/h）.,数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.,建立数学模型的全过程
3、（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视.,在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.,“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”.,数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”.,“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径” .,数学建模的重要意义,数学建模的具体应用,分析
4、与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,1.3 数学建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性.,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置.,四只脚着地,距离是的函数.,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g
5、(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗造的证明方法,将椅子旋转90o，对角线AC和BD互换.由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h(0)0
6、和h(/2)0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的?,考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4).,和 f(), g()的确定,1.3.2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏), 3名商人 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上
7、的人员.,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk) 过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk) 过程的决策,D 允许决策集合,uk, vk=0, 1, 2; k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,D=(u , v) u+v=1, 2, u, v
8、=0, 1, 2,状态因决策而改变,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, ,d11给出安全渡河方案,允许状态,S=(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,求dkD(k=1,2, ,n), 使skS, 并按转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,模型构成,商人和随从人数增加或小船容量加大;,商人们怎样安全过河,智力游戏,多步决策过程(数学模型),易于推广:,考虑4名商人各带一随从的情况.,
9、多步决策模型:,恰当地设置状态和决策, 确定状态转移律及目标(目标函数).,便于求解 (计算机编程等).,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,1.3.3 如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长.,与常用公式的一致,?,美国人口统计数据,为利用最小二乘法，取对数，,得,%Matlab进行参数估计,%指数增长模型数据t=1790,1800,1810,1820,1830,1
10、840,1850,1860,1870,1880,1890,1900,1910,1920,1930,1940,1950,1960,1970,1980,1990,2000;ren=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;,%以1790年至1900年的数据拟合x=0:11;y=log(ren(1:12);p = polyfit(x,y,1);x0=exp(p(2);f=polyval(p,x);plot(t(1:
11、12),ren(1:12),o,t(1:12),exp(f),-,LineWidth,2);,拟合得r=0.2743，x0=4.1884，可以看出指数增长模型能描述十九世纪以前美国人口的增长。,%以1790年至2000年的数据拟合x=0:21;y=log(ren);p = polyfit(x,y,1);x0=exp(p(2);f=polyval(p,x);plot(t,ren,o,t,exp(f),-,LineWidth,2);,拟合得r=0.2022，x0=6.0450。进入20世纪后，美国人口增长变慢，指数增长模型就不合适了。,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计
12、数据吻合.,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.,可用于短期人口增长预测.,不符合19世纪后多数地区人口增长规律.,不能预测较长期的人口增长过程.,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(logistic模型),指数增长模型,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm .,根据统计数据利用线
13、性最小二乘法作拟合,阻滞增长模型(logistic模型),例：美国人口数据(百万),数据(t,x),%Logistic模型，用1860-1990年的数据拟合x=ren(8:21);y=diff(ren(8:22)./(ren(8:21);p = polyfit(x,y,1);r=p(2);s=-p(1);xm=r/s;x0=ren(1);tt=0:21;f=xm./(1+(xm/x0-1).*exp(-r*tt);plot(t,ren,o,t,f,-,LineWidth,2);,计算得r=0.2559，xm=371.94，图形如下,中间19世纪中叶到20世纪中叶不大好，但20世纪中叶之后吻合得
14、不错。,模型检验,用模型计算2000年美国人口,误差不到3%,阻滞增长模型(logistic模型),用美国18601990年数据(去掉个别异常数据),与实际数据(2000年为281.4)比较,1790年为零点,=274.5,Logistic 模型的应用,模型应用,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,预报美国2010年的人口,经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量).,种群数量模型 (鱼塘中的鱼群, 森林中的树木).,预报人口的增长,指数增长模型,阻滞增长模型,参数估计和模型检验是建模的重要步骤.,线性最小二乘法是参数估计的基本方法.,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物
15、特性的认识，找出反映内部机理的数量规律.,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析.,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.,1.4 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模型准备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的“问题”,模型假设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模型构成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型求解,各种数学方法、软件和计算机技术.,如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.,模型分析,模型检验,与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题.,
