应用题与韦达定理

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1、一元二次方程应用题1楚天汽车销售公司 5 月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为 30 万元/辆，若当月销售量超过 5 辆时，每多售出 1 辆，所有售出的汽车进价均降低 0.1 万元/辆根据市场调查，月销售量不会突破 30 台（1）设当月该型号汽车的销售量为 x 辆（x30，且 x 为正整数） ，实际进价为 y 万元/辆，求 y 与 x 的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为 32 万元/辆，公司计划当月销售利润 25 万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价 进价）2为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室经预算，一共需要筹

2、资 30000 元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的 3 倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有 200 户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资 150 元镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资 20000 元经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在 200 户的基础上增加了 a%（其中 a0） 则每户平均集资的资金在 150 元的基础上减少了 a%，求 a 的值3某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是 90 万元，每月另需支付设备维护费 5 万元，从今年 1

3、 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达 100 万元，1 至 3 月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达 364 万元，3 月份后，每月生产收入稳定在 3 月份的水平（1）求使用新设备后，2 月、3 月生产收入的月增长率；（2）购进新设备需一次性支付 640 万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）4在“文化宜昌 全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012 年全校有 1000 名学生，2013 年全校学生人数比

4、2012 年增加 10%，2014 年全校学生人数比 2013年增加 100 人（1）求 2014 年全校学生人数；（2）2013 年全校学生人均阅读量比 2012 年多 1 本，阅读总量比 2012 年增加 1700 本（注：阅读总量=人均阅读量人数）求 2012 年全校学生人均阅读量；2012 年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的 2.5 倍，如果 2013 年、2014 年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数 a，2014 年全校学生人均阅读量比 2012 年增加的百分数也是 a，那么 2014 年读书社全部 80 名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的 25%，求

5、 a 的值5 “低碳生活，绿色出行” ，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自 2013 年起逐月增加，据统计，该商城 1 月份销售自行车 64 辆，3 月份销售了 100 辆（1）若该商城前 4 个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城 4 月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入 3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知 A 型车的进价为500 元/辆，售价为 700 元/辆，B 型车进价为 1000 元/ 辆，售价为 1300 元/辆根据销售经验，A 型车不少于 B 型车的 2 倍，但不超过 B 型车的 2.8 倍假设所进车辆全部售完

6、，为使利润最大，该商城应如何进货？6随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为 100 万元，乙队每月的施工费比甲队多 50 万元在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的 2 倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过 1500 万

7、元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）7为响应区“美丽广西 清洁乡村”的号召，某校开展“ 美丽广西 清洁校园”的活动，该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为 498m2，绿化 150m2 后，为了更快的完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的 1.2 倍结果一共用 20 天完成了该项绿化工作（1）该项绿化工作原计划每天完成多少 m2？，（2）在绿化工作中有一块面积为 170m2 的矩形场地，矩形的长比宽的 2 倍少 3m，请问这块矩形场地的长和宽各是多少米？8山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价

8、每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240 元，则应打几折出售？9随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加据统计，某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家庭电动自行车的拥有量达到 180 辆（1）若该小区 2009 年底到 2012 年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到 2012 年底电动自行车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 3 万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位 1000 元/个，露天车位 200 元/个考虑到实际因素，计划露天

9、车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案韦达定理知识回顾1、 一元二次方程 的求根公式为 。)0(2acbxa )04(22acbabx2、 一元二次方程 根的判别式为：2 c4（1） 当 时，方程有两个不相等的实数根。0（2） 当 时，方程有两个相等的实数根。（3） 当 时，方程没有实数根。3、若一元二次方程 有两个实数根 ，那么 ， )0(2acbxa 21x和 21x21x。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。4、以 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是21x和 0)(21212

10、5、在一元二次方程 中，有一根为 0，则 ；有一根为 1，则 )0(2acbxa c cba；有一根为 ，则 ；若两根互为倒数 ,则 ；若两根互为相反数，则 。6、二次三项式的因式分解(公式法 )在分解二次三项式 的因式时，如果可用公式求出方程 的两个根 ，cbxa2 )0(2acbxa21x和那么 如果方程 无根,则此二次三项式 不能分)(212cbxa )0(2cbxa cb2解.典例分析例 1：设 是方程 ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：2x和 0342x（1） （2） （3） （4）)1(2121x21)(x变式训练：1、 已知关于 的方程 有实数根，求满足下列条件的 值：

11、x0132kx k（1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。2、已知关于 的方程 。 （1）求证：方程必有两个不相等的实数根。 （2） 取何值时，方程有两个x02ax a正根。 （3） 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。 （4） 取何值时，方程到少有一根为零？a a例 2、若方程 与 有一个根相同，求 的值。042mx02xm例 3、以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根，二次项系数为 3 的一元二次方程是_例 4、解方程：(m-1)x 22mx+(m+4)=0例 5、如果 x22(m+1)x+m 2+5 是一个完全平

12、方式，则 m= ;例 6、设关于 x 的方程 x26x+k=0 的两根是 m 和 n，且 3m+2n=20，则 k 值为 ;练习：1、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x4=0的两个根，那么：x 1+x2= ；x 1x2= ； 21x；x 21+x22= ；(x 1+1)(x2+1)= ；x 1x 2= 。2、 m,n 是关于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0 的两个实数根，则代数式 mn= 。3、 已知方程 2x2+mx4=0 两根的绝对值相等，则 m= 。4、 已知关于 x 的方程 x23x+k=0 的两根立方和为 0，则 k= 5、 造一个方程，使它的根是方程 3x27x

13、+2=0 的根；(1)大 3；(2)2 倍；(3) 相反数；(4)倒数。6、 已知一元二次方程(2k3)x 2+4kx+2k5=0，且 4k+1 是腰长为 7 的等腰三角形的底边长，求：当 k 取何整数时，方程有两个整数根。7、已知关于x的方程mx 2nx+2=0两根相等，方程x 24mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x 2(k+n)x+(km)=0一定有实数根。8、关于x的方程 =0，其中m 、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。2241x(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是 12，求这个三角形的周长。9、如果关于x的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根、 ，那么( 1) 2+(1) 2的最小值是多少?