《数列》复习教案

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1、2013 高中数学精讲精练 第五章 数列【知识图解】 【方法点拨】1学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证2强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧3在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化4一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习如错位相减法、迭加法、迭乘法等5增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解第 1 课数列的概念【考点导读】1 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一

2、种特殊的函数；2 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；3 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前 项和的问题。【基础练习】1.已知数列 满足 ，则 = 。分析:由 a1=0, 得 由此可知: 数列 是周期变化的, 且三个一循环,所以可得: 2在数列 中，若 ， ，则该数列的通项 2n-1 。3设数列 的前 n 项和为 ， ，且 ，则 _2_.4已知数列 的前 项和 ，则其通项 【范例导析】例 1设数列 的通项公式是 ，则（1）70 是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？（2）写出这个数列的前 5 项，并作出前 5 项的图象；（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项

3、？分析：70 是否是数列的项，只要通过解方程 就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。解：（1）由 得： 或 所以 70 是这个数列中的项，是第 13 项。（2）这个数列的前 5 项是 ；（图象略）（3）由函数 的单调性： 是减区间， 是增区间，所以当 时， 最小，即 最小。点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。例 2设数列 的前 n 项和为 ，点 均在函数 y3x2 的图像上,求数列 的通项公式。 分析：根据题

4、目的条件利用 与 的关系： ，（要特别注意讨论 n=1 的情况）求出数列 的通项。解：依题意得， 即 。当 n2时， ;当 n=1 时， 所以 。例 3已知数列a 满足 , （）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 ,证明： 是等差数列;分析：本题第 1 问采用构造等比数列来求通项问题，第 2 问依然是构造问题。解：（I） 是以 为首项，2 为公比的等比数列。 即 （II） ；，得 即 ，得 即 是等差数列。点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。【反馈演练】1若数列 前 8 项的值各异，且 对任意 nN*都成立，则下列数列中可取遍 前 8 项值的

5、数列为 （2） 。（1） （2） （3 ） （4） 2设 Sn 是数列 的前 n 项和，且 Sn=n2，则 是 等差数列，但不是等比数列 。3设 f（n）= （nN），那么 f（n+1）f（n）等于 。4根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn（万件）近似地满足 Sn= （21n n2 5）（n=1，2，12 ）.按此预测，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是 7 月、8 月 。5在数列 中， 则 505 。 6数列 中，已知 ，（1）写出 ， ， ； （2） 是否是数列中的项？若是，是第几项？解：（1） ， ， ； （2）令 ，解方程得 ， ， ，

6、 即 为该数列的第 15 项。 第 2 课等差、等比数列【考点导读】1 掌握等差、等比数列的通项公式、前 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；2 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；3 注意函数与方程思想方法的运用。【基础练习】1在等差数列an中，已知 a510，a1231，首项 a1= -2 ，公差 d= 3 。2一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，则它的第 1 项是 ，第 2 项是 8 。3设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 。4公差不为 0 的等差数列an中，a2，a3，a6 依次成等比数列，则公比等于 3 。【范例导析】例 1

7、（1）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有13 项。（2）设数列an是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是 2 。解：（1）答案：13法 1：设这个数列有 n 项 n 13法 2：设这个数列有 n 项 又 n13（2）答案：2 因为前三项和为 12，a1a2 a3 12，a2 4又 a1a2a348， a24 ，a1a312 ，a1a38，把 a1，a3 作为方程的两根且 a1a3，x28x12 0，x16， x22 ，a12 ，a3 6 ， 选 B.点评：本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公

8、式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。例 2（1）已知数列 为等差数列，且 （）求数列 的通项公式；（）证明 分析：（1）借助 通过等差数列的定义求出数列 的公差，再求出数列 的通项公式，（2）求和还是要先求出数列 的通项公式，再利用通项公式进行求和。解：（1）设等差数列 的公差为 d，由 即 d=1。所以 即 （II）证明：因为 ，所以 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。例 3已知数列 的首项 （ 是常数，且 ）， （ ），数列 的首项 ， （ ）。 （1）证明： 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；（2）设 为数

9、列 的前 n 项和，且 是等比数列，求实数 的值。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2 ）问也可以求出。解：（1） (n2)由 得 ， ， ， ，即 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。（2） 当 n2时， 是等比数列, (n2)是常数， 3a+4=0，即 。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。【反馈演练】1已知等差数列 中， ，则前 10 项的和 210 。2在等差数列 中，已知 则 42 。3已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是 3 。4如果 成等比数列，则 3 ， -9 。5设等差数列an的前 n

10、项和为 Sn,已知 a3=12,S120,S13a2a3a12a13,因此，在 S1，S2，S12 中 Sk为最大值的条件为：ak0 且 ak+10,即 a3=12, ， d0, 2 k3 d3, 4,得 5.5k 7.因为 k 是正整数，所以 k=6,即在 S1，S2 ，S12 中，S6 最大.解法二：由 d0 得 a1a2a12a13，因此若在 1k12中有自然数 k,使得 ak0,且 ak+10,则 Sk 是 S1，S2，S12 中的最大值。又 2a7=a1+a13= S130, a70, a7+a6=a1+a12= S120, a6a70故在 S1，S2 ，S12 中 S6 最大.解法

11、三：依题意得： 最小时，Sn 最大； d3, 6 (5 )6.5.从而，在正整数中，当 n=6 时，n (5 )2 最小，所以 S6 最大.点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求Sn中的最大值 Sk（1k12 ）：思路之一是知道 Sk 为最大值的充要条件是 ak0且 ak+10；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭” ，从而得解；思路之三是可视 Sn 为 n 的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.第 3 课数列的求和【

12、考点导读】对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有： （1）公式法： 等差数列的求和公式， 等比数列的求和公式（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含 因式，周期数列等等）（3）倒序相加法：如果一个数列a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的

13、对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项之和变成首尾若干少数项之和。【基础练习】1已知公差不为 0 的正项等差数列an中,Sn 为前 n 项之和,lga1 、lga2、lga4 成等差数列，若 a5=10,则 S5 = 30 。2已知数列an是等差数列 ,且 a2=8,a8=26,从an中依次取出第 3 项,第 9 项,第27 项, 第 3n 项,按原来的顺序构成一个新的数列 bn , 则 bn=_3n+1+2_3若数列 满足： ，2，3.则 . 【范例导析】例 1.已知等比数列 分别是某等差数列的第

14、 5 项、第 3 项、第 2 项，且 （）求 ； （）设 ，求数列 解：（I）依题意 点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。例 2数列 前 项之和 满足： （1） 求证：数列 是等比数列 ；（2） 若数列 的公比为 ,数列 满足： ，求数列 的通项公式；（3） 定义数列 为 ，求数列 的前 项之和 。解：（1）由 得： 两式相减得： 即 , 数列 是等比数列 。 （2） ，则有 。 （3） ， 点评：本题考查了 与 之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。例 3已知数列 满足 ， （）求数列 的通项公式 ； （）设 ，求数列 的前 项和 ；（）设 ，数列 的前 项和为 求证：对任意的 ， 分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（） ， ，又 ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 即 . （） （） ， 当 时，则 ， 对任意的 ， 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟