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1、1第七章 插值与拟合一、插值定义在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。早在 6 世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17 世纪之后，牛顿，拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。插值方法可在一维空间也可在多维空间中使用，本节主要研究一维插值和二维插值问题。1.1 一维插值定义设函数 y=
2、f(x)在区间a,b上连续，在a,b上有互异点 x0,x1,xn处取值y0,y1,yn 。如果函数 (x) 在点 xi上满足 (x i)=yi (i=0,1,2,n)，则称 (x)是函数 y=f(x)的插值函数，x 0,x1,xn是插值节点。若此时 (x)是代数多项式 P(x)，则称P(x)为插值多项式。显然 f(x)(x)，xa,b1.2 一维插值的方法1.2.1 拉格朗日插值构造 n 次多项式 ，其中 为 n 次多项式：niiyxLP0xLi(7.1)niiiiiiii xx L1110称为拉格朗日插值基函数。值得注意的是：并不是插值的次数越高，其逼近程度就越好，相反存在这样的反例，插值的
3、次数越高，插值函数在端点处会出现大幅波动的现象，这种现象称为 Runge 现象。1.2.2 分段线性插值了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度。比如可用分段线性插值来逼近已知函数。2已知 n+1 个不同节点 x0,x1,xn ,构造分段一次线性多项式 P(x)，使之满足(1) P(x)在a,b上连续(2) P(xk)=yk(3) P(x)在x i,xi+1上是线性函数，通过计算满足上述条件的分段一次线性多项式 P(x)具有下述形式：(7.2)其 它,x,x,xllyPjjjj jjjjjnjj011101.2.3 三次样条插值为了克服分段线性插值
4、总体光滑性较差这一缺点，一种全局化的分段插值方法三次样条插值成为比较理想的工具。在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的 k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有 k 阶光滑性。对于给定 n+1 个不同节点 x0,x1,xn及函数值 y0,y1,yn，其中 a=x0n。由于该超定方程个数多于未知数个数，当增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩时无解。现在求其最小二乘解，它就是使余向量 rx=b-Ax 的谱范数r x 2=(rxTrx)1/2 最小的 n 维向量。具体解法可以通过下述定理获得。定理：当 ATA 可逆时，超定方程组 Ax=b 存在最小二乘解，且即为方程组ATAx=ATb (7.6)的解：a
5、=(A TA)-1ATb3.3 可线性化的非线性模型有些变量之间的非线性模型，通过变量变换可以化为线性模型（见下表） ，此称为外在线性。而有些变量之间的非线性模型，通过变量变换不能化为线性模型，通常称为内在非线性。对于外在线性的非线性模型，仍可采用最小二乘法拟合非线性方程。对于内在非线性模型 y=f(x,)+，其误差平方和 S()是 的函数，通过使误差平方和 s()达到极小的方法求 的估计值来拟合非线性回归方程。9变量和参数的变化模型形式 变换后形式Y X a1 a2bxay1abxy1y1xa1b2xbayaxby2y2xa1b2lnlnlnlbxaeybxyyxab2/bx alnln2l
6、2ln2112ya22xby2yx2ab3.4 拟合与插值的区别对于给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面。若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。四、用 Matlab 求解拟合问题4.1 多项式拟合的 Matlab 函数MATLAB 中多项式拟合函数为 ployfit(), 其调用格式为:10a=ployfit(x,y,m)其中 a 为输出拟合多项式系数 a
7、=a1, am , am+1 ；x，y 为拟合数据点；m 为拟合多项式次数。多项式在 x 处的值 y 可用以下命令计算：y=polyval（a,x）例 4 对下面一组数据作二次多项式拟合xi 0 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1yi 0.447 1.978 3.28 6.16 7.34 7.66 9.58 9.48 9.30 11.2解：MATLAB 程序如下：x=0:0.1:1;y=0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);p
8、lot(x,y,k+,x,z,r)0 2 6 8 1 İ2468 4.2 非线性最小二乘拟合的 Matlab 函数Matlab 的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit 和 lsqnonlin。两个命令都要先建立 M-文件 fun.m，在其中定义函数 f(x)，但两者定义 f(x)的方式是不同的。4.2.1 lsqcurvefit()的调用格式x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);其中 xdata=（xdata1，xdata2，xdatan ） ，ydata=（ydata1，ydata2，ydatan ）是拟合数据点，f
9、un 是一个事先建立的定义函数 F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为 x 和11xdata，F(x,xdata)= （F （x，xdata1） ，F（x，xdatan） ） T，x0 是迭代初值，options 是控制参数选项可参考无约束优化中的 Matlab 函数。4.2.2 lsqnonlin()的调用格式x= lsqnonlin（fun ，x0，options） ；与命令 lsqcurvefit()不同的是： fun 是一个事先建立的定义函数 f(x,xdata,ydata) 的 M-文件，f(x,xdata,ydata)=（F （x，xdata1）-ydata1，F（x，xd
10、atan ）-ydatan） T例 5 用下面一组数据拟合函数 中的参数 。bteatv10a,t0.5 1 2 3 4 5 7 9v6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63解：1.利用 lsqcurvefit()函数求解：先编写函数文件如下：function f=curvefun1(x,tdata)f=10-(10-x(1)*exp(-tdata/x(2);在命令窗口中输入tdata=0.5 1 2 3 4 5 7 9;cdata=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63;x0=0.1 0.05;x=lsqcurve
11、fit(curvefun1,x0,tdata,cdata)x =5.557681991179866 3.5002232927575262.利用 lsqnonlin()函数求解：先编写函数文件如下：function f=curvefun2(x)tdata=0.5 1 2 3 4 5 7 9;cdata=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63;f=cdata-10+(10-x(1)*exp(-tdata/x(2);在命令窗口中输入x0=0.1 0.05;12x=lsqnonlin (curvefun2,x0);x =5.557681991179866 3.5
12、00223292757526即 。5.3,6.ba五、应用实例雨量预报对农业生产和城市工作和生活有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，广受世界各国关注。我国某地气象台和气象研究所正在研究 6 小时雨量预报方法，即每天晚上 20 点预报从 21 点开始的 4 个时段（21 点至次日 3 点，次日3 点至 9 点，9 点至 15 点，15 点至 21 点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经 120 度、北纬 32 度附近的 5347 的等距网格点上。同时设立 91 个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。气象部门希望建立一种科学评价预报方
13、法好坏的数学模型与方法。气象部门提供了 41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据。预报数据在文件夹 FORECAST 中，实测数据在文件夹 MEASURING 中，其中的文件都可以用 Windows 系统的“写字板”程序打开阅读。FORECAST 中的文件 lon.dat 和 lat.dat 分别包含网格点的经纬度，其余文件名为_dis1 和_dis2，例如 f6181_dis1 中包含 2002 年 6 月 18 日晚上 20 点采用第一种方法预报的第一时段数据（其 2491 个数据为该时段各网格点的雨量） ，而f6183_dis2 中包含 2002 年 6 月 18 日晚上 20
14、点采用第二种方法预报的第三时段数据。MEASURING 中包含了 41 个名为 .SIX 的文件，如 020618.SIX 表示 2002 年 6 月 18日晚上 21 点开始的连续 4 个时段各站点的实测数据（雨量） ，这些文件的数据格式是：站号 纬度 经度 第 1 段 第 2 段 第 3 段 第 4 段58138 32.9833 118.5167 0.0000 0.2000 10.1000 3.100058139 33.3000 118.8500 0.0000 0.0000 4.6000 7.400058141 33.6667 119.2667 0.0000 0.0000 1.1000 1
15、.400058143 33.8000 119.8000 0.0000 0.0000 0.0000 1.800058146 33.4833 119.8167 0.0000 0.0000 1.5000 1.9000雨量用毫米做单位，小于 0.1 毫米视为无雨。请建立数学模型来评价两种 6 小时雨量预报方法的准确性。 （注：本题数据位于压缩文13件 C2005Data.rar 中, 可从 http:/ 下载）5.1 问题分析与数据预处理要评价预报方法的准确性，必须对同一位置上的预报值和实测值进行比较，计算它们之间的误差大小。然而。由于条件的限制，得到的预报数据和实测值并不处于同一位置，这就需要根据已知信息推算出其它位置的信息。有两种方法：由实测站点的实值推算出预报网格点上的实测值，或者由预报网格点上的预报值推算出实测站点处的预报值。若采用第一种方案，由于观测站点的分布是散乱的，应采用散乱数据插值方法。5.2 模型建立与求解在误差理论中误差平方和通常表示估计值偏离真实值的程度，误差平方和越大，说明数据偏离真实值程度越大；误差平方和越小说明估计值偏离真实值程度越小。因此可以用误差平方和来评价两种预报方法的好坏。设 为某天某个时段第i个观测站点的实测值；912,i,xL。为该天该时段
