[高三数学]圆锥曲线专题研究

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1、专题研究：圆锥曲线【定义法的应用】一利用圆锥曲线定义巧求离心率例 1 F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过 F2作一条直线交椭圆于 P、Q 两点，使 PF1PQ，且PF 1=PQ，求椭圆的离心率 e.解：设PF 1=t，则PQ=t，F 1Q= t，由椭圆定义有：| PF1+PF 2=QF 1+QF 2=2a，PF 1+PQ+F 1Q=4a ，即( +2)2t=4a,t=(4-2 )a，PF 2=2a-t=(2 -2)a，在 RtPF 1F2中，F 1F1 2=(2c)2，(4-2 )a 2+(2 -2)a 2=(2c)2( )2=9-6 ， e= = acac6二利用圆锥曲线定义巧求值例 2

3、线的定义时，可直接确定其标准方程，并得出待定系数之值，从而直接得出结果例 4过原点的椭圆的一个焦点为，长轴长为 4，求椭圆中心的轨迹)0,1(F简析：设椭圆中心为由于椭圆的一个焦点为，则椭圆的另一个焦点为),(yxM)0,1(F，再由椭圆的定义知，即，即)2,1(2yxF421O4)2(yx（除去点）490,【离心率的解法】一、直接求出 a、c，求解 e例 1. 过双曲线 C：的左顶点 A 作斜率为 1 的直线，若与双曲线 M 的)0b(1yx2 l两条渐近线分别相交于点 B、 C，且|AB|=|BC|，则双曲线 M 的离心率是（）A. B. C. D. 1053125分析

4、：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。bc1a22b解：易知 A（-1，0），则直线的方程为。直线与两条渐近线和l1xybxy的交点分别为 B 、C ，又|AB|=|BC|，可解得，则bxy)1b,()b,(92故有，从而选 A。10c10ace二、变用公式，整体求出 e例 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心)0b,a(1yax2 x34y率为（）A. B. C. D. 3534452分析：本题已知，不能直接求出 a、c，可用整体代入套用公式。ab解：由（其中 k 为渐近线的斜率）。2222 1abace 这里，则，从而选 A。34ab35)

5、4(1a三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率 e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为21，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 22214解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为 F，则轴，知|MF|是通xM径的一半，则有。由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选 B。|MF 2d|e四. 构造 a、c 的齐次式，解出 e根据题设条件，借助 a、b、c 之间的关系，构造出 a、c 的齐次式，进而得到关于 e 的方程，通过解方程得出离心

6、率 e 的值，这也是常用的一种方法。例 4. 已知、是双曲线的两焦点，以线段 F1F2为边作正1F2 )0b,a(1yax2，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）21M1A. B. C. D. 34321313解：如图，设的中点为 P，则点 P 的横坐标为，由11MF,c|O2c，由焦半径公式，即，得c|F|21P|aex|PFp1a)2c(c，有，解得（舍去），故选 D。0ac02e31e,高考试题分析1.（2009 全国卷）设双曲线21xyab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A） 3 （B）2 （C） 5

7、（D） 6 解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点 0(,)Pxy，则切线的斜率为0|xy.由题意有 02yx又 201，解得: 2 201,1()5bbeaa.由题双曲线 20xy ，的一条渐近线方程为 abxy，代入抛物线方程整理得 2ab，因渐近线与抛物线相切，所以 042，即55ec，2.（2009 浙江理）过双曲线21(0,)xyab的右顶点 A作斜率为 1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,BC若 12Bur，则双曲线的离心率是 ( )A 2 B 3 C 5 D 10答案：C 【解析】对于 ,0a，则直线方程为 0xya，直线与两渐近线的交点为 B，C，2

8、2,(,)bbB，22(,),babBAurur，因此 2,4,5ACaeur 3.（2009 浙江文）已知椭圆21(0)xyab的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B在椭圆上，且 BFx轴，直线 AB交 y轴于点 P若 2ABur，则椭圆的离心率是（）A 32 B 2 C 13 D 1 【解析】对于椭圆，因为 APur，则 2,2OAFace 4.(2009 山东卷理)设双曲线 12byax的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. 45 B. 5 C. 2 D. 5【解析】:双曲线 12byax的一条渐近线为 xaby,由方程组 21byxa,消

9、去 y,得210bx有唯一解,所以= 2()40a,所以 a,221()5cbe,故选 D5.（2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为 6的是（A）214xy（B）214xy（C） 214xy （D） 2140xy 解析由 6e得2223,cbaa，选 B6.（2009 江西卷文）设 1F和 2为双曲线21xyb( 0,a)的两个焦点, 若 12F，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A 3 B 2 C 52 D3【解析】由 3tan6cb有 224()cbca,则 ce,故选 B.7.（2009 江西卷理）过椭圆21xya( 0)的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆

10、于点P， 2F为右焦点，若 1260FPo，则椭圆的离心率为A B 3 C 12 D 13 【解析】因为2(,)bPca，再由 1260FPo有 ,ba从而可得 3cea，故选B8.（2009 全国卷理）已知双曲线 2,0xyCba：的右焦点为 F,过且斜率为 3的直线交于 AB、两点，若 4FB,则 C的离心率 (A)A 65 B. 7 C. 58 D. 99. （2008 福建理 11）双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、 F2,若 P为其上21xyb一点，且| PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,利用第二

11、定义及焦半径判断 0xa10.（ 2008湖南理 8）若双曲线（ a0, b0）上横坐标为的点到右焦点的21yb32a距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ )解析：利用第二定义2223(,350aaeecc-+-整理得11.（2008 江西理 7）已知 1F、 2是椭圆的两个焦点，满足 12MFur的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A (0,1) B (0, C (,) D ,)2解析：满足 12MFur的点总在椭圆内部，所以 c17.（2007 全国 2 理）设 12F，分别

12、是双曲线2xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使 1290o且 123A，则双曲线的离心率为（ B ）A 5B C 15D 5解 122210()()(AFacec-= =+18（07 全国 2 文）已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ D ）A B C D331319（07 江苏理 3）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条xOyy渐近线方程为，则它的离心率为（A ）20xyA B C D55232（注意焦点在轴上）y20设 12F，分别是椭圆21xab（ 0a）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段 1的中垂线过点 2F，则椭圆

13、离心率的取值范围是（ D ）A 20， B 30， C 1， D 31，223acace+=21（07 湖南文）设 12F，分别是椭圆21xyab（ 0a）的左、右焦点， P是其右准线上纵坐标为 3c（为半焦距）的点，且 12|FP，则椭圆的离心率是（ D ）A 312B 12C 5D 222（07 北京文 4）椭圆 2(0)xyab的焦点为 1F， 2，两条准线与 x轴的交点分别为 MN，，若 1F ，则该椭圆离心率的取值范围是（D） 102， 20， 12， 21，23.（ 2009 重庆卷文）已知椭圆21(0)xyab的左、右焦点分别为12(,0)(,Fc，若椭圆上存在一点 P使 1221sinsicFP，则该椭圆的离心率的取值范围为【答案】 1,. 解法 1，因为在 12PF中，由正弦定理得 2112sinsiPF则由已知，得 121ac，即 12ac设点 0(,)xy由焦点半径公式，得 1020,exaex则()aecae记得 0()()1ex由椭圆的几何性质知 0(1)exaa则，整理得 21,e解得 21(,)eee或，又，故椭圆的离心率(,)24.(2009 湖南卷理)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 60 o，则双曲线 C 的离心率为 62【解析】连虚轴一个端点、

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