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1、特岗教师招聘考试 数学专业知识总复习题纲一、复习要求1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x 2，表示非负实数集，点集(x，y)|y=x2表示开口向上，以 y 轴为对称轴的抛
2、物线；（3）集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如 N+=0，1，2，3，；描述法。2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用 或 表示；（2）集合与集合的关系，用 ， ，=表示，当 A B 时，称 A 是 B 的子集；当 A B时，称 A 是 B 的真子集。3、集合运算（1）交，并，补，定义：AB=x|xA 且 xB，AB=x|xA，或 xB，CUA=x|xU，且 x A ，集合 U 表示全集；（2）运算律，如 A（BC）=（AB）（AC） ，C U（AB）=（C UA）（C UB） ，CU（AB）=（C UA）（C UB）等。4、命题：（1）命题分类：真命题与假命题，
3、简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p 且 q，p 或 q，非 p；（3）复合命题的真假：对 p 且 q 而言，当 q、p 为真时，其为真；当 p、q 中有一个为假时，其为假。对 p 或 q 而言，当 p、q 均为假时，其为假；当 p、q 中有一个为真时，其为真；当 p 为真时，非 p 为假；当 p 为假时，非 p 为真。（3）四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若非 p 则非 q”，逆命题为“若 q 则 p“，逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、充分条件与必要条件（1）定义：对命题“若 p 则
4、 q”而言，当它是真命题时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件，当它的逆命题为真时，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件，两种命题均为真时，称 p 是 q 的充要条件；（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A，满足条件q 的所有对象组成集合 q，则当 A B 时，p 是 q 的充分条件。B A 时，p 是 q 的充分条件。A=B 时，p 是 q 的充要条件；（3）当 p 和 q 互为充要
5、时，体现了命题等价转换的思想。6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。三、典型例题例 1、已知集合 M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求 MN。解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M=y|y=x2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1说明：实际上，从函数角度看，本题中的 M，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一
6、般地，集合y|y=f(x)，xA应看成是函数 y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合（x，y）|y=x 2+1，xR是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线 y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例y|y1=x|x1。例 2、已知集合 A=x|x2-3x+2=0，B+x|x 2-mx+2=0，且 AB=B，求实数 m 范围。解题思路分析：化简条件得 A=1，2，AB=B B A根据集合中元素个数集合 B 分类讨论，B=，B=1或2，B=1，2当 B= 时，=m 2-80 时，f(x)1，且对任意的a、bR，有 f(a+b)=f(a)f(b)，
7、（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；（3）证明：f(x)是 R 上的增函数；（4）若 f(x)f(2x-x2)1，求 x 的取值范围。分析：（1）令 a=b=0，则 f(0)=f(0)2 f(0)0 f(0)=1（2）令 a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) )x(f1由已知 x0 时，f(x)10当 x0，f(-x)0 0)x(f1又 x=0 时，f(0)=10 对任意 xR，f(x)0（3）任取 x2x1，则 f(x2)0，f(x 1)0，x 2-x10 )(f)(f)(f1 f(x 2)f(x1) f(x)在 R 上是增函数（4）f(x)f
8、(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0)，f(x)在 R 上递增 由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x 20 0bc B、acb C、bca D、cba2、方程 （a0 且 a1）的实数解的个数是x)2(logaA、0 B、1 C、2 D、33、 的单调减区间是|x1)(yA、 （-，1） B、 （1，+） C、 （-，-1）（1，+） D、 （-，+）9、函数 的值域为)24(log2A、 （-，3 B、 （-，-3 C、 （-3，+） D、 （3，+）10、 函数 y=log2|ax-1|（ab）的图象的对称轴是直线 x=2，则 a 等于A、 B、 C
9、、2 D、-22116、有长度为 24 的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为A、 3 B、4 C、6 D、12（二）填空题7、已知定义在 R 的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，且当 0x1 时，f(x)=x，则=_。)215(f8、 已知 y=loga(2-x)是 x 的增函数，则 a 的取值范围是_。9、 函数 f(x)定义域为1，3，则 f(x2+1)的定义域是_。10、函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)，且 f(0)=3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是_。11、已知 f(x)=log3x+3，x1，9
10、，则 y=f(x)2+f(x2)的最大值是_。12、已知 A=y|y=x2-4x+6，yN，B=y|y=-x 2-2x+18，yN，则 AB 中所有元素的和是_。13、若 (x)，g(x)都是奇函数，f(x)=m(x)+ng(x)+2 在（0，+）上有最大值，则f(x)在（-，0）上最小值为_。14、函数 y=log2(x2+1)（x0）的反函数是_。15、求值： =_。bcaabccab x1x1x1 （三）解答题16、若函数 的值域为-1，5，求 a，c。c)(f217、设定义在-2，2上的偶函数 f(x)在区间0，2上单调递减，若 f(1-m)3；（2）求 a 的取值范围。数 列一、复习
11、要求11、 等差数列及等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式及性质；2、一般数列的通项及前 n 项和计算。二、学习指导1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。研究数列，首先研究对应法则通项公式：a n=f(n)，nN +，要能合理地由数列前n 项写出通项公式，其次研究前 n 项和公式 Sn：S n=a1+a2+an，由 Sn定义，得到数列中的重要公式： 。2S1n1一般数列的 an及 Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，
12、求 Sn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列（1）定义，a n为等差数列 an+1-an=d（常数） ，nN + 2an=an-1+an+1（n2，nN +） ；（2）通项公式：a n=an+(n-1)d，a n=am+(n-m)d；前 n 项和公式： ；2)a(d2)1(Sn11（3）性质：a n=an+b，即 an是 n 的一次型函数，系数 a 为等差数列的公差；Sn=an2+bn，即 Sn是 n 的不含常数项的二次函数；若a n，b n均为等差数列，则a nnn, ,kan+c（k，c 为常数）均为等差k1i数列；当 m+n=p+q 时，a m+an=ap+aq，特例：
13、a 1+an=a2+an-1=a3+an-2=；当 2n=p+q 时，2a n=ap+aq；当 n 为奇数时，S 2n-1=(2n-1)an；S 奇 = a 中 ，S 偶 = a 中 。1n3、等比数列（1）定义： =q（q 为常数，a n0） ；a n2=an-1an+1（n2，nN +） ；n1a（2）通项公式：a n=a1qn-1，a n=amqn-m;前 n 项和公式： ；1qa)(Sn11（3）性质当 m+n=p+q 时，a man=apaq，特例：a 1an=a2an-1=a3an-2=，当 2n=p+q 时，a n2=apaq，数列ka n， 成等比数列。k1ia4、等差、等比数
14、列的应用（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；（3）若a n为等差数列，则 为等比数列（a0 且 a1） ；na若a n为正数等比数列，则log aan为等差数列（a0 且 a1） 。三、典型例题例 1、已知数列a n为等差数列，公差 d0，其中 ， ， 恰为等比数列，1ka2nka若 k1=1，k 2=5，k 3=17，求 k1+k2+kn。解题思路分析：从寻找新、旧数列的关系着手设a n首项为 a1，公差为 d a 1，a 5，a 17成等比数列 a 52=a1a17（a 1+4d） 2=a1(a1+16d) a 1=2d设等比数列公比为 q，则 3ad41n5对 项来说，nk在等差数列中： 1nn1k2kd)(an在等比数列中： 13q 32k1n n)31(2)3()()2( 11n10n1 LLL注：本题把 k1+k2+kn看成是数列k n的求和问题，着重分析k n的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法” 。例 2、设数列a n为等差数列，S n为数列a n的前 n 项和，已知 S7=7，S 15
