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1、6.5 能量法基础,1、变形是指结构原有形状的变化。2、位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。位移包括线位移和角位移两种。1）线位移是指结构上某点沿直线方向相对于原位置移动的距离，结构上两点之间沿两点连线方向相对位置的改变量，称为相对线位移；2）角位移是指杆件某截面相对于原位置转动的角度，结构上两个截面相对转动的角度称为相对角位移。,变形和位移,6.5.1 作用在弹性杆件上的力所作的功,外力的作用下将产生变形，在这一过程中，外力将在杆件相应的位移上作功。外力作功分为常力作功和变力作功两种形式。,1、常力功当杆件位移发生之前，力已经存在，且位移产生过程中，作用力不发生变化，则此时力所作的功为
2、常力功。等于该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。2、变力功当弹性杆件在力的作用下所产生的位移，随力和变形的增加而增加时，力所作的功为变力功。,6.5.2 杆件的弹性应变能,弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。而当外力逐渐减小时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内的能量被释放而作功。这种因弹性体变形而储存的能量称为弹性应变能。储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功。,若轴力,沿轴线为变量，,的微段杆内所储存的应变能,梁弯曲时的应变能,则可先计算长为,6.5.3 互等定理,1、功的互等定理,能量守恒原理，可推导得出线性弹性体的互等定理
3、，常用的是功的互等定理和位移互等定理。,力系,在力系,引起的位移上所作的功，等于力系,在力系,引起的位移上所作的功。,推导：,2、位移互等定理,当,时，所产生的位移,称为单位位移，特用,来表示，则此时的位移互等定理可写成,在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.,一、能量法,三、变形能,二、外力功,固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.,利用功能原理 V = W 来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.,总结,可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功. 对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外
4、力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.,V = W,四、功能原理,五、杆件变形能的计算,1.轴向拉压的变形能,此外力功的增量为：,当拉力为F1 时,杆件的伸长为l1 当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(l1),积分得:,根据功能原理,当轴力或截面发生变化时:,V= W , 可得以下变形能表达式,当轴力或截面连续变化时：,2.扭转杆内的变形能,或,纯弯曲,横力弯曲,3.弯曲变形的变形能,4.组合变形的变形能,截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.,六、变形能的普遍表达式,F-广义力(包括力和力偶),-广义
5、位移(包括线位移和角位移),B,C,假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值.,对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移,例如 2可表示为,C1F1,C2F2,C3F3 分别表示力F1 , F2, F3 在 C 点引起的竖向位移.,C1,C2,C3 是比例常数.,2 与 F2 之间的关系是线性的.,同理,1 与 F1, 3 与F3 之间的关系也是线性的.,在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功, 克拉贝隆原理（只限于线性结构）,七、变形能的应用,1.计算变形能,2.利用功能原理计算变形,例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.,解：
6、,由V=W 得,例题2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的挠度.,解：,由V=W 得,例题3 拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI ,受到F1和F2 两个力作用.,若先在 B 截面加 F1, 然后在 C 截面加 F2;,若先在 C 截面加 F2, 然后在 B 截面加 F1.,分别计算两种加力方法拉杆的应变能.,（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2,（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为,外力作功为,（b）再在C上加 F2,C截面的位移为,F2 作功为,（c）在加F2 后,B截面又有位移,在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）,所以应变能为,（2）若先在C截
7、面加F2 ,然后B截面加F1.,（a）在C截面加F2 后,F2 作功,（b） 在B截面加F1后,F1作功,（c）加 F1引起 C 截面的位移,在加F1过程中F2作功（常力作功）,所以应变能为,注意：,（1） 计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别.,（2）应变能V只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.,解: 梁中点的挠度为:,梁右端的转角为:,梁的变形能为:,例题4,以弯曲变形为例证明应变能V只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.,先加力 F 后,再加力偶 Me,（1）先加力F后,C 点的位移,力F 所作的功为,（2）力偶由零增至最后值 Me,B 截面的转角为,力
8、偶 Me 所作的功为,先加上的力F所作的功为,C截面的位移为,F与力偶Me所作的功为,1、结构材料处于弹性工作阶段，服从胡克定律，即应力应变成线性关系。2、结构满足小变形假设，在建立平衡方程时，仍然可用结构原有几何尺寸进行计算。3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力影响。,6.6 单位荷载法,6.6.1 结构位移计算假定,满足上述条件的理想化结构体系，其位移与荷载之间为线性关系，称为线性变形体系，其位移计算可以应用叠加原理。,k,k,6.6.2 单位荷载法,1、虚拟状态的选取,欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载
9、：,1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力,2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶,3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力,4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶,5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为d ，每一力的大小为1/d,力和力偶统称为广义力，,单位广义力用,=1表示,线位移和角位移统称广义位移，用表示,单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：,正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同,负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反,2、单位荷载法计算位移的主要步骤为：
10、,(1)沿拟求位移的位置和方向加设相应的单位荷载；(2)根据静力平衡条件，求出在所设单位荷载下结构的弯矩；(3)根据静力平衡条件，计算在荷载作用下结构的弯矩；(4)代入位移计算公式中计算位移。,3、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式,（1）梁和刚架,梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度,（2）桁架,各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式,（3）组合结构,既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项,（4）拱,一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计,4、静定梁的位移计算,计算步骤为,（1）
11、设虚拟状态；,（2）计算,（3）用梁的位移计算公式计算位移。,例1 求图所示简支梁上力点的作用点的竖向位移和转角。EI为常数。,左段,右段,右段,当,时，,左段,左段,右段,这里单位力偶,的方向是任选的。,取正值，表明转角的方向与单位力偶的方向相同；,取负值，表明转角的方向与单位力偶的方向相反；,5、静定桁架的位移计算,计算步骤为,（1）设虚拟状态；,（2）计算,（3）用桁架的位移计算公式计算位移。,解,（1）设虚拟状态（如上图b所示）,（2）计算,（标于图 b.a ）,（3）代公式求C点的竖向位移,例2 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点的竖向位移,6.7图乘法,6.7.1 图乘法原理,1、
12、图乘法的适用条件：,（1）杆段的轴线为直线 （2）杆段的弯曲刚度EI为常数,直梁和刚架的位移公式则为,（3） 图和 图中至少有一个直线图形,2图乘法原理,图乘法求位移的一般表达式为,注意：,3.图乘法的步骤,1 设虚拟状态；2 画 图； 图；3 图乘求位移。,1 应取自直线图中2 若 与 在杆件的同侧, 取正值，反之,取负值。3 如图形较复杂，可分解为简单图形。,结论：,当满足三个条件时，位移等于两弯矩图形中曲线图形的面积乘以其形心所对应的直线图形的纵坐标，再除以EI。,6.7.2 几个规则图形的面积和形心位置,b,几中常见图形的面积和形心的计算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,顶点,
13、二次抛物线,l,h,顶点,c,N 次抛物线,l,h,顶点,c,二次抛物线,3l/4,l/4,1、应用条件 杆为直杆，EI为常数，两个图形中至少有一个是沿着 的整个长度为一直线变化的图形，纵坐标 取自该直线图中。2、正负号规则 面积 与纵坐标 在杆的同侧时，乘积 取正号；否则取负号。,6.7.3 应用图乘法时的几个具体问题,3、分段计算(1)若用来选取纵坐标 的图形是由几段直线组成的折线，则应分段计算。(2)杆件各段有不同的EI，则应在EI变化处分段并按分段进行图乘。,4.图形的分解叠加计算,当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。,梯-梯同侧
14、组合：,梯-梯同侧组合：,梯-梯异侧组合,由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可以看成一个梯形和一个规则抛物线图形的叠加 。,曲-折组合,阶梯形截面杆,解,图分别如图 (b).(c)所示。,BC 段的MP图是标准二次抛物线；,AB段的MP图较复杂，,但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形 。,例1 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移,CV。梁的EI=常数,由图乘法得,代入以上数据,于是,例2 试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移 cv,解,荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b c所示。,在AB段, MP和,图均是三角形；,在BC段，MP图,可看作是由B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁
15、在均布荷载作用下的标准抛物线图，即图b中虚线与曲线之间包含的面积叠加而成。,将上述各部分分别图乘再叠加，即得,例3,试求图 (a)所示刚架结点B的,BH,水平位移,设各杆为矩形截面，截面尺,寸为bxh，惯性矩 l= ,E为常数，只,考虑弯矩变形的影响。,解,先作出MP图和,图,分别如图 (b)(c)所示。,应用图乘法求得结点B的水平位移为：,例题4 均布荷载作用下的简支梁,其 EI 为常数. 求跨中点的挠度.,A,B,C,F,例题5 图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载荷q及集中力F作用. 用图乘法求:集中力作用端挠度为零时的F值；,F,C,A,B,a,q,F,C,A,B,解：,a,a,q,例题6 图示开口刚架,EI为常数.求沿F力作用线方向的相对线位移AB .,a,a,a/2,a/2,A,B,F,F,解：,Fa/2,a/2,Fa/2,Fa/2,a/2,a/2,例题7 图示刚架,EI为常数. 求A截面的水平位移AH,B,A,a,a,a,qa2/2,解：,
