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1、1高数上册复习考试2009 年 12 月 15 日第一章函数与极限一、 函数1认识一些常用函数和初等函数。2求函数的自然定义域。二、 极限1极限的计算（1）善于恒等化简和极限的四则运算法则（2）常用的计算方法（a）常用极限， ， ， ，0limn)1(0liqn 1limn )0(1lian（ ） ， （ ） ， effn)(1li fegnn)(li 0)(ng= 1 （ ） 。)(silfn0)(nf（b）一些常用的处理方法(i)分子分母都除以 n 的最高次幂。例如： = ， = 3562742341672n3562472n2342167n= 43252433215n(ii)根号差的消除。
2、例如： = ， = )(nf)(g)()(ngf3)(ngfh23 5343345 )()( )()()()( f ngffnffnh (iii)指数函数的极限。= ( 。)(limnvnu)lim(linvu都 存 在 ）)(lim,0)linvu(iv)利用指数函数的极限。当 =1 时，)(lifn= = = )(limngnf)(1)(1li ngfnff)(1)(11limngfnff)(1lingfne(v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。= )(linf)(lixfx(vi)利用两边夹原理。把 分别缩小、扩大一点点得简单的 、 ，)(nf )(ngh)(ngf，使容易求得 ，则
3、。h Ahng)(lim)(li Afli（c）当 用递归式给出时nx3（i）用数学归纳法证明 是单调有界的，从而 存在；nx Axnlim（ii）对 的递归式两边取极限得关于 的方程，再解出 。nx A（d）记得一些等价关系当 = 0 时，)(limfn ， ， ， s)(tanff)(arcsinff)(arctnff1 ， ， ，)(cof21)(1)(nfeln（3）函数极限的计算（a） （2）中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。（b）如果已知 在 x0点连续，则 = 。)(f )(lim0xf)0f（c）记得一些等价关系。 （lim 表示六种极限之一）当 = 0 时，)(li
4、mxf ， ， ， sn)(tanxff)(arcsinxff)(arctnxff1 ， ， ，)(coxf21)(1)(fel（d） （lim 表示六种极限之一）当 =1 时，)(limxf= = = )(lixgf)(1)(1li xgfxff)(1)(11limxgfxff)(1limxgfe（e）利用两边夹原理。把 分别缩小、扩大一点点得简单的 、 ，)(xf )(xgh)(xg4，使容易求得 ，则 。)(xfh Axhg)(lim)(li Axf)(li（f）不定式的极限（lim 表示六种极限之一）(i)当极限是 或 型的不定式时，可用洛必达法则： 0= )(limxgf)(lixf
5、（洛必达法则可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。 ）(ii)对于 0 型的不定式，先变形，再用洛必达法则。= = = = )(limxgf)(1lixf)(1limxfg)(1lixgf)(1limxgf(iii)对于 00、 、 0型的不定式。= = = = )(limxgff(x)geln li )(ln limxfgg(x)1ln imfeg(x)1ln imfe(iv)对于 型的不定式，先计算成一个式子再计算。（g）如果 ，则 。0)(licxgf 0)(li0)(li xfxg2极限的证明（1）证明 = A 的格式)(limnf证 ，0（打草稿从不等式 解出 （必要时将 放大f)
6、()(NnAnf)(一点点得一个简单的 ，再从 解出 ） ） ngAf)(gN（*）取 。当 时，)(N（由 正确推出 （一般是（*）的倒推） ）nAnf)(5故 = A。)(limnf证明 = A 的格式0x证 ，（打草稿从不等式 解出 （必要时将 放xf)( )(0xAxf)(大一点点得一个简单的 ，再从 解出 ）gAf)(g0） （*）取 。当 时，)(0x（由 正确推出 （一般是（*）的倒推） ）0xAf)(故 = A。)(lim0fx（其它类型极限的证明格式完全类似。 ）（2）证明 存在但不管它是什么。)(linf用数学归纳法证明 单调并且有界，再根据单调有界原理得)(f出结论。三、
7、连续性和间断点1 在 点连续)(xf0)(lim00xffx )(lim)(li 000 xffxfxx 要证明 在 点连续就是要证明 ；如果 是分)(f 0段点，则要证明 。)(li)(li00 fffxx2间断点。（1）找间断点如果 在 的两边都有定义但 没有定义，则 是 的)(xf0 )(0xf 0x)(f间断点；分段函数的分段点可能是它的间断点。（2）间断点分类6（a）如果 是 的间断点并且 和 都存在，则 是0x)(f )(lim0xfx)(li0xf 0x第一类间断点。（b）如果 或 至少有一个不存在，则 是第二类间断)(lim0xfx)(li0fx 0x点。（c）如果 存在（即
8、都存在） ，但 没有)(li0fx )(lim)(li00xffxx)(0xf定义或 ，则 是可除间断点。重新定义)00f可使 变成连续点。(lim)(0ffx3闭区间上连续函数的性质（1）零点存在定理。 （2）介值定理。 （3）最值定理。7第二章导数与微分一、导数的计算1 用定义计算导数当要求导的函数不是初等函数时，比如分段函数的分段点或函数没有具体表示式时，直接用定义计算它在 点的导数。0x000 )(lim)(limli)( 0xffxfyxf x 2 用求导公式计算导数当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记熟用熟相关公式。3 复合函数求导（1）一次复合如果
9、，则)(),(),(xfyxufy)()(xffdd xuy（2）多次复合如果 ，则)(),(),(),( tfytxufy )()ttfdtdt dtxux更多层次的复合函数的求导方法类推。4 隐函数求导8（1）一阶导数的求导步骤：（a）把 看成 的函数时， 是一个恒等式；yx0),(yxF（b）用复合函数求导方法对恒等式 两边对 求导（求导时),(x记得 中有 ）得新的恒等式 ； yxyxG（c）从 解出 = 。0),(Gy),(D（2）要求二阶导数时，有两种方法：（a）用复合函数求导方法恒等式 两边对 求导（求导时0),(yxGx记得 和 中都有 ）得新的恒等式 ，再从yxH解出 = ，
10、最后代入 = 得 =0),(xHy),(yEy),(xDy。yDE（b）用复合函数求导方法恒等式 = 两边对 求导（求导时记y),(xx得 中有 ）得 = ，最后代入 = 得 =yxy),(xFy),(Dy。),(,DF更高阶导数的求导方法类推。5 参数表示的函数求导（1） 表示的函数 在 点的一阶导数)(tyx)(xyt)(tdtx（2）要求二阶导数时，可对 表示的函数 再次求)(typ)(xp导：9)(2ttydxy更高阶导数的求导方法类推。6 对数求导法）复 合 函 数 求 导 法 ）( )()ln(xuvxveu二、高阶导数1 常用函数的高阶导数 nmanxanxmaxp nmmn ,
11、0! ,)1()2)1(!)( 1LL其中 。nn xaa10)( xmxe)()2sinsi)(co)(xm1)(!1mmxx)(!)ln(2 莱布尼茨公式 )(0)( knnkvuCuv与二项式公式完全类似。特别注意：当 是低次多项式时，公式中的项数很少，非常简u单。10三、微分的计算1 函数 在 点的微分)(xfydxfy)(2当 复合函数时，微分公式也是)(),(txfyxfy)(3 ，否则不可微。)()(dxfxdyoo四、可导、可微、连续的关系可导 可微 连续但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=|x|，x=0 点。11第三章微分中值定理与导数的应用一、导数的意义是曲线 在 点切
12、线的斜率；如果 是路程函数，则)(xf )(xfy)(ts是在时间 时的速度；如果 是速度函数，则 是在时间 时tst )(tvvt的加速度。二、中值定理1 费马定理如果 是 的极值点，并且 存在，则 = 0，即 是驻0x)(f )(0xf )(xf0x点。费马定理是中值定理的基础。2 罗尔定理条件：)(b,a)(ffxf内 可 导 ；在 开 区 间 上 连 续 ；在 闭 区 间结论：至少存在一点 使得 =0。,)(f罗尔定理的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：； = ； = 。1,0)(xxf )(xf)1,(xf)10,3 拉格朗日中值定理条件： 内 可 导在 开 区 间 上
13、 连 续在 闭 区 间 baxf,)(;结论：至少存在一点 使得 = 。)()(fabf)(12拉格朗日中值定理的两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：； = 。1,0)(xxf )(xf)1,如果 在 内可导， ，则存在 使得)(f,babax,01,0xffxf )()(00其中 是 的分比。这就是有限增量公式。x04 柯西中值定理条件：0)(,)(xFbaxf中在 开 区 间 内 可 导 ；在 开 区 间和 上 连 续 ；在 闭 区 间和结论：至少存在一点 使得 = 。,)(f)(aFbf5 中值定理的证明题。方法是凑一个函数应用相应的中值定理。注意到： )()()()(xgf
14、exgexexff )()()(1xxx中有一项多一部分 。f三、泰勒公式1 泰勒公式 )()(!)(!2)(!1)( 00)(200)(000 xRxnfxfxfxff n L13其中余项 的主要形式有)(xRn（1） 拉格朗日余项， （ 在 与 之间）10)1()!nnnxfx0x（2） 皮亚若余项。nnxR)()0o如果 ，则，用 次泰勒多项式Mxfn)(1 nnn xfxfxffp )(!)(!2)(! 00)(200)(000 L近似代替 产生的误差估计为)(xf 10)!()nnxMxR2 为备用，熟记一些常用函数的麦克劳琳公式（ 的泰勒公0x式） 12)!(!1!1nxnx exe L1132 )()()1ln( nnnxx121253 )!(si)!(!si mmxxxx L2242 )!(cos)!(!1co 3 用间接法写函
