《抗旱方案的制定》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抗旱方案的制定（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抗旱方案的制定摘要本文首先建立灰色模型求解原有的四口水井在未来五年各自的年产水量。然后利用得到的原有的四口水井在未来五年的年产水量，结合题目中的条件，讨论出计划打井和铺设管道的方案。最终通过方案建立了非线性规划模型，得到了打井和铺设管道具体的计划，该计划可使的总费用最小且为 174 万元。问题一中利用原有四口水井在近几年粗略的产水量，通过建立灰色模型预测后几年水井的年产水量。为了提高预测的精度，我们选用了灰色模型预测四口水井近五年各自的年产水量作为原始序列。在检验模型的过程中，用残差可以导出平均模拟相对误差、滤波误差、均方差比值和小误差概率等指标。最后根据精度检验等级参照表，确定出四口井序列的
2、均方差比值、小概率误差皆达到了一级。根据各指标的精度等级来检验模型是否合理，只有通过检验的模型才能用来做预测。最终检验得出建立的模型合理，可以用来预测。问题二中结合得到现有四口水井在未来五年的年产水量，讨论通过打井和铺设管道来满足该村未来五年用水需求的情况下，如何计划使打井和铺设管道的总费用最小。我们得出计划有两个方案：方案一是只打井，不铺设管道；方案二是既打井，又铺设管道。方案一建立了线性规划模型，方案二建立了非线性规划模型。两个方案都需计划前三年中每一年的打井位置，由此得出打井费用和当年的年产水量。再根据打井后每口水井的年产水量还会以平均每年 10%左右的速率减少，算出每一年通过打井和原有
3、四口水井共同提供的年产水量。在方案二中，还必须将打井费用除去后剩余的资金来铺设管道。两方案不同的是方案一中最后两年全靠井来供应水，而方案二中还有铺设好的管道提供的水。最后经模型的求解，得到方案一不可行，而方案二可行且有最优解。为了使整个计划的总开支最为节省，从 2010 年起三年的打井和铺设管道计划：2010年在 1、3、4 和 5 号位置共打 4 口井耗资 20 万元，用剩余的 40 万元来铺设5.7878 公里的管道； 2011 年在 2、6 和 8 号位置共打 3 口井耗资 15 万元，用剩余的 45 万元来铺设 6.5113 公里的管道；2012 年不打井，用 54 万元来铺设剩余的
4、7.7009 公里的管道。关键词：灰色模型 检验指标 非线性规划 最优解一、 问题的重述1.1 问题的背景位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足 20mm，是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积下雨时的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量（见表 1）也在逐渐减少。表 1 现有各水井在近几年粗略的产水量（万吨）1.2 问题的现状及需求2009 年以来，由于水井的水远远不能满足需要，不仅各种农业生产全部停止，而且
5、大量的村民每天要被迫翻山越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑:一是地质专家经过勘察，在该村附近又找到了 8 个可供打井的位置，它们的地质构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表2，而且预计每口水井的年产水量还会以平均每年 10%左右的速率减少；二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔 20 公里外的地方把河水引入该村。铺设管道的费用为 （万元） ，其中 表示每年的可供LQP51.06Q水量（万吨/年） ， 表示管道长度（公里） 。铺设管道从开工到完成需要三年时L间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。
6、要求完成之后，每年能够通过管道至少提供 100 万吨水。政府从 2010 年开始，连续三年，每年最多可提供 60 万元用于该村打井和铺设管道。为了保证该村从 2010 至 2014 年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190 万吨水，作出一个从 2010 年起三年的打井和铺设管道计划，使整个计划总费用最少。表 2 8 个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）编号 1 2 3 4 5 6 7 8打井费用 5 7 5 4 6 5 5 3当年产水 25 36 32 15 31 28 22 121.3 问题的提出问题一：2010 到 2014 年原有的四口井总的年产水量是多少
7、？问题二: 结合问题一的结果，作出从 2010 年起三年的打井和铺设管道计划，年份产水量编号2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 20091 号井 32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.72 号井 21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.03 号井 27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.24 号井 46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3使总费用最小。二、模型假设（1） 假设在未来五年不
8、发生大的自然灾害；（2） 假设 8 个位置的的年产水量服从专家们预计的方式变化；（3） 假设管道铺设后每年通过的水量是稳定的；（4） 假设不考虑小蓄水池的作用和利息的因素；（5） 假设新打的井的产水量与原来四口井之间的影响很小，可以不计。三、 符号说明符号 意义 单位)(0ixj第 年原有的第 口水井的年产水量ij（ =1，2，3,4，5； =1，2，3,4，以 2005 年为第i1 年） 万吨/年)(j第 年原有的第 口水井的年产水量ij（ =1，2，10，以 2005 年为第 1 年） 万吨/年ijx第 年在编号为 的位置打井的口数（ =1， 2，3,4，5； =1，2，,8，以 2010
9、 年为第ij1 年） 口jA在位置 打一口井的费用（ =1， 2，,8）j 万元jB编号为 的位置的井在第一年的年水产量（ =1， 2，,8）j 万吨/年iL第 年铺设的管道的长度i（ =1，2，3，以 2010 年为第 1 年） kmQ管道铺设好后每年可向村里提供的供水量 万吨/年四、问题分析4.1 问题一的分析问题的背景中告知了现有四口水井在近几年粗略的产水量，可以通过建立模型预测后几年水井的年产水量。由于年产水量是粗略的统计，为了提高预测的精度，我们选用了灰色模型预测四口水井未来五年各自的年产水量。原始年水产量时间序列通过灰色模型得到相应的模拟年水产量时间序列，用残差可以导出平均模拟相对
10、误差、滤波误差、均方差比值和小误差概率等指标。其中，平均相对误差和滤波误差都要求越小越好；均方差比值越小越好；小误差概率越大越好。最后根据精度检验等级参照表（表 3） ，确定出各指标所属的精度等级。根据各指标的精度等级（两个指标尽量是在一级以内）来检验模型是否合理，只有通过检验的模型才能用来做预测。表 3 精度检验等级参照表指标临界值精度等级相对误差 均方差比值 0C小误差概率 0P一级 0.01 0.35 0.95二级 0.05 0.50 0.80三级 0.10 0.65 0.70四级 0.20 0.80 0.60（注：一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。 ）4.2 问题二的分析利用问题
11、一的得到现有四口水井在未来五年的年产水量，讨论通过打井和铺设管道来满足该村未来五年用水需求的情况下，如何计划使打井和铺设管道的总费用最小。我们得出计划有两个方案：方案一是只打井，不铺设管道；方案二是既打井，又铺设管道。由于两个方案分别要求如何计划打井、计划打井和铺设管道，我们对两个方案都建立了非线性规划模型。在方案一中，计划每一年的打井位置，由此得出打井费用和当年的年产水量。再根据打井后每口水井的年产水量还会以平均每年 10%左右的速率减少，算出每一年通过打井和原有四口水井共同提供的年产水量，最后通过是否满足该村未来五年用水需求来验证方案是否可行，可行的话是否能够使总的开支最小。在方案二中，计
12、划每年的打井位置，得出打井费用和当年的年产水量。然后用剩余的资金来铺设管道。接着，再根据打井后每口水井的年产水量还会以平均每年 10%左右的速率减少，算出每年通过打井、原有四口水井、铺设好的管道共同提供的年产水量。最后同样最后通过是否满足该村未来五年用水需求来验证方案是否可行，可行的话是否能够使总的开支最小。最后，如果两个方案都可行，将两者进行对比，选出最优的方案。如果只有一个方案可行，则该方案最优。五、模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解（1）模型的建立在实际建模中，为了提高模拟精度导致原始数据序列中的数据不一定全部用来建模，而是在原始数据序列中取出一部分数据，就可建立一个模型。因
13、此在现有各水井在 2001 到 2009 年这 9 年的年产水量中取出 2005 到 2009 年这 5年的年产水量，对其进行量变分析，运用灰色预测模型 GM（1，1） 1来预测后五年现有各水井的年产水量。设原始序列：=)0(jX)5(,4),3(,2),1( 0000jjjjj xxx对 作 1-AGO,即 ，得：)0(j ,151)0()( Liiijj)1(j)5(,4),3(,2),( 11 jjjjj xxx对 建立 GM（1，1）模型的影子方程：)1(jXjjj bxadt)1()1(其中，待估参数 为发展系数， 为灰作用量。jajb设参数列 ，可按最小二乘法估计，得：Tjj,jj
14、j YBaT1)(式中： 1)()1(2)3()(221)1)()( nxxxBjjjjjjjLTjjjjY,3,)0()0()0(解得微分方程的时间响应序列为： jkajjj bexkxj)1()(0)1求出 的模拟值：)1(jX )5(,)2(,1( 1)1 jjjj xxXL还原求出 的模拟值：)0(j由 = = - 得 ：)(0kxj)(1kxj)(1)1()kxj)5(,2,0)0()0()0( jjjj xXL残差序列：=0j )(,4)3(,)1(jjjjj 其中： = - )(ij)(0ixj)(ij相对误差序列： 54321)0( jjjjjj ，式中 =ij)(0ixj对于
15、 ，称 为 点模拟相对误差， 为滤波相对误差， =5ij 5j j为平均模拟相对误差， 为平均相对精度， 为滤波精度。如51iji j151j果给定 ，当 0，当 0，当 时，称模型为小误差概率合格模型。0j0利用 matlab 软件编程（附录 2）计算得到模型的均方差比和小误差概率：表 5 均方差比和小误差概率指标水井编号均方差比值 jC小误差概率 jp1 号井 0.0921 12 号井 0.0220 13 号井 0.0629 14 号井 0.0344 1由表可知，四口井序列的均方差比值、小概率误差皆达到了一级。综上所述，1 号和 4 号井为残差、均方差比值、小概率误差合格模型，2 号和 3
16、 号井为均方差比值、小概率误差合格模型但平均相对误差为二级。所以，可以用该模型来对四口井的未来年产水量进行预测，得到未来 5 年四口水井的年产水量（matlab 程序见附录 1）：表 6 2010-2014 年个水井的年产水量年份产水量编号2010 2011 2012 2013 20141 号井 21.6416 20.6241 19.6544 18.7303 17.84972 号井 1.4505 1.0786 0.8021 0.5965 0.44363 号井 9.8745 8.5508 7.4046 6.4120 5.55244 号井 15.2594 14.2473 13.3022 12.4199 11.5961总和 48.2260 44.5008 41.1633 38.1587 35.44185
