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1、1拉氏变换在自动控制理论中的运用摘要拉普拉斯变换有很多公式的证明，性质定理，然而我们应该要有一个清晰地思路有针对性的运用积分变换解决连续线性控制问题。首先要知道拉普拉斯变换存在的两个条件，满足条件在自动控制系统工程方面的两个运用，分析数学模型中的函数类型，针对函数类型，运用拉普拉斯变换相对应的性质进行变换解答。在连续线性控制系统中，针对我们的专业特点，有针对性，高效地学习运用拉普拉斯变换解决控制系系统中的数学模型。 关键词： 1. 拉普拉斯变换2. 自动控制理论3. 传递函数4. 数学模型在线性控制系统中，对控制系统的分析和设计都要用到拉普拉斯变换，拉普拉斯变换作为一种数学工具，给我解答控制工
2、程数学模型带来了方便。描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础上，使用拉普拉斯变换使我们的分析计算更2加简洁、方便。我们要知道拉氏变换在控制工程中的应用条件，几个独特的性质定理以及特殊函数，学会用拉普拉斯变换去求解传递函数，微分方程，分析系统的稳定性。 ，因此积分变换课程对于自动化专业学习非常重要。一拉普拉斯变换在线性控制系统中存在的条件及意义。 在控制工程中，我们运用拉氏变换来解题时，首先要满足拉普拉斯变换在线性系统中存在的条件。我们要记住时间函数f(t)拉氏变换F(s)=Lf(t)=s为复频率，f(t)为象函数，f(t)=F(s), f(t)和F(s) 构成一拉氏变换，
3、在我们运用拉氏变换解决连续线性控制问题时，我们要知道，时间函数要满足两个条件，在t0的有限区间上分段函数连续，当t 时f(t)的增长速度不要超过某一指数函数，即存在常数M0和 0使得下式成立， 。如果不满足上诉两个条件，那么我们在解决线性连续控制理论问题时就不能采取拉斯变换来解答，可能需要运用矩阵、行列式，微分方程等其他途径。意义：在控制工程学中，拉普拉斯变换的重大意义在于将信号从时域，转化为复频域，在线性系统控制自动化上有广泛运用。在线性控制理论很多基础的东西都会用到用拉氏变换。已知控制系统结构图如图所示，求输入 时系统的输出 。()31rtt)(tc3解 由图可得又有 则 这道例题给了我们
4、反馈控制系统的方框图，我们在图中，找出了输入函数 ，输出函数 ，利用反馈系统的特点，列出传递函数4，它是一个连续线性控制问题，满足拉普拉斯变换在系统中的应用条件，运用拉氏变换对传递函数进行求解，求得系统的输出 。二拉普拉斯变换在线性系统中应用的特殊函数和性质。在自动控制系统中，解决线性控制问题时，拉普拉斯变换实际是一般都要用来解决四类函数的运算，分别是：阶跃函数、指数函数、正弦函数和余弦函数、t的幂函数(1) 阶跃函数在机电控制系统中经常会遇到阶跃函数的情况，如下图所示，在t0时，电路未加电压，U=0。在t=0时，合上开关，此后u=E.这函数符合拉普拉斯变换条件，它的拉普拉斯变换为 E=1时，
5、u即为单位阶跃函数 1 t，可见L1 t=, 5例如速度控制系统，室温调节系统，水位调节系统等可以采用阶跃函数作为典型输入信号。(2) 指数函数如控制电路中，主电路控制电容器的充电，电压的变化即为一指数函数，若指数函数为 则其拉普拉斯变换而(3) 正弦函数和余弦函数在实际中，航海于海上的船舶，由于收到海浪的冲击而摇把或颠簸，其摆幅随时间的变化规律近似于正弦函数。因此舰船上的各种设备的控制系统，其输入信号常用正弦函数来表述。根据欧拉公式将正弦化为指数函数形式，即而 同理余弦函数 (4) t的幂函数原函数 6象函数 ，针对我们控制系统中遇到的四个函数，我们必须熟练的运用拉普拉斯变换性质定理中的7个
6、特殊性质定理。分别是：1. 线性定理 两个函数和的拉氏变换，等于每个函数的拉氏变换的和，即函数放大K倍的拉氏变换，等于函数拉氏变换的K 倍，即2. 微分定理函数求导的拉氏变换，等于拉氏变换乘以s的求导次幂。同理，若出初始条件则有3. 积分定理一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s，即4. 位移定理若 的拉氏变换为 ，则有7例如：则可以通过拉普拉斯变换的移位定理得：5. 初值定理若函数 及其一介导数都是可拉普拉斯变换的，则 的初值为6.终值定理若 且 的所有奇点均在S平面的左半部，则7.卷积定理若原函数是 和 的卷积则8f(t)g=taO（A）原函数的“展宽 ”在控制系统中
7、，系统象函数的极点和零点“收缩” ，取a=2,示意图如下。 ImReOF(S)的 零 极 点9ImReOG(S)的 零 极 点我们在解答线性控制问题时，运用以上7个拉普拉斯变换的特殊性质，会使我们的解题变得更加简洁，但我们一定要记住它们应用特点。三拉普拉斯变换在线性控制系统中的应用。(1)会用拉斯变换解决线性微分方程.（2）用拉普拉斯变换求解控制系统 多几点部分展开式。例如：已知 求方法一：利用留数方法 解 ,它有两个零点 ，10解法二：利用移位定理该式有移位定理得解法三：MATLAB软件就行求解对该函数上式函数，我们可以利用留数方法求取 的逆变换，也可以利用移位定理求解，显然用拉普拉斯变换的
8、移位定理比较简单，同时也显示了拉普拉斯变换性质在解题中的优越性。拉斯变换在控制工程中的简单应用：1会用拉斯变换解决线性微分方程，例如在线性控制系统中，我们常常要对系统瞬态响应分析时，要对11微分方程求解，借助拉普拉斯变换进行求解。设线性微分方程并假设初始条件解 首先对微分方程两边进行拉普拉斯变换，得代数方程代入初始条件，求解Y（S）于是求的拉普拉斯变换反变换y(t)=1-4 该解有两部分组成:稳态分量即终值 和瞬态分量 4利用终值定理可以校验稳态分量解,即2.利用拉普拉斯变换求取传递函数如已知RLC控制电路的微分电路方程，求传递函数。对上式进行拉氏变换，得12传递函数为3 采用数学模型求传递函
9、数，分析系统的特征根及相应的模态例 1 已知某系统，当输入为 时，输出为)(1tretttC432)(求：1) 系统传递函数 ?G(s)2) 系统增益？3) 系统的特征根及相应的模态？ 4) 画出系统对应的零极点图；5) 系统的单位脉冲响应 ?k(t)6) 系统微分方程；7) 当 时，系统响应(t),r)(c,)(1010?c(t)解 1）首先我们要运用拉普拉斯变换求其象函数。 s1)(R)4s(12)4(2s 3)s()(s)(1 4s2 e3L)(C4tt13)1s4(2)s(12)s(RCG2）由式，增益 K=13）由式：特征根 模态 421 4et4）零极点图见右5） G(s)Lk(t
10、)13412142212ss)( c c s 4t11 32413234 es.LG(s) k(t). s t6） 隐含零初始条件542)(sR(s)CRs245(2不受零初始条件限制r(t)c(t)t)c:L17）对上式进行拉氏变换，注意代上初条件R(s)sC()c(s)(csC() 4240502 4514315441321504452421 212ss c sc s )(s.)(s cR)( C) s s C(s) 413t tt态tt e e ct2314出我们在学习拉普拉斯变换时，拉普拉斯反变换在解答线性连续控制理论问题时很重要，主要在线性连续控制系统的时域分析，根轨迹极点和零点在复
11、平面的分布情况。如求的 拉普拉斯反变换解 有一个零点，一堆共轭复数极点可展开确定 注意到令方程两边实部和虚部分别相等，则=-1，15解的所以由此求得 拉普拉斯反变换为推广：在连续线性控制理论中，我们要把拉普拉斯变换作为一种数学工具，最有针对性的学习和运用。要学以致用，学后会用，把专业课和积分变换基础课有机结合，减少我们学习的盲目性，增加我们学习的趣味性。在学习中，我们要把知识统一起来，运用各科知识的特点，有机结合，开拓我们的视野，培养我们的创新能力，共同去解决一个复杂的工程问题。在解决连续线性控制理论问题时，我们应该有一个清晰的思路，用自动控制理论知识去构建数学模型，用拉普拉斯变换数学知识进行解答。首先要明白用拉普拉斯变换是否满足它的两个条件，如果满足，它是控制工程的哪个方面，构建的数学模型，它的函数有什16么特点，根据函数特点有针对性运用拉普拉斯变换性质去解答。积分变换理论和方法在我们学习自动控制原理中有着广泛的运用，它是我们解决线性常微分方程和建立线性复频域模型传递函数和频率特性的有力数学工具，解决线性连续系统控制理论的一个数学基础。参考文献 1. 黄家英编自动控制理论高等教育出版社，第二版上册2. 王显正编控制理论基础科学出版社，第二版3. 林青云编自动控制原理中国水利水电出版社，第一版4. 盖云英编复变函数与积分变换科学出版社，第二版
