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1、导学案一:平面向量的坐标运算1.设 . 则1(,)Axy2(,)B= ur ABur2.非零向量 ，,abr12(,)(,)xybrabrg cos,abrrP二:空间向量坐标运算1 设 1(,)Axyz21(,)Bxyz= Bur ABur2 非零向量 ，,abr12(,)(,)xyzbxyzrabrg= cos,rabP三:具体运用1.直线与直线关系求异面直线 AB，CD 所成的角 ，则cos ABCDP例 1:在正方体 ABCD- 中， 求证1ABCD1DBC2 求证 求异面直线 所成的角的余弦值。 （其中1DBP1EBD与,点 E 在线段 上13A1A C1D1B1A1CDA BFGH
2、E：在上图中 G,H,F 分别是 AD, 的中点，求证1,AD1AGBHP求证 EF 求 所成的角的余弦值P11EH与2.直线与平面的关系平面法向量的概念 求平面法向量的方法设平面 的法向量 ，在平面中任意找三个不共线的点，如(,)nxyzrA,B,C,的坐标，任意求出两个向量的坐标如 ,利用 ABCur求出 的坐标nr CBA设平面 的法向量 ，则nr（1） ABP3（2） AB（3）直线 AB 与平面 所成的二面角为= sinconurg例 2:在正方体 ABCD- 中，求直线 与平面 所成的1ABCD1B1ACD角设 E,F 分别是 与 的中点，G 在线段 上， ， ，3BG求 与平面
3、EFG 所成角的余弦值1CAC1D1B1A1CDA BFGE3.平面与平面的关系设平面 ， 的法向量 ，12,nur则 P12nur二面角 平面角为 ，设平面 ABC 的法向量 ，平面ABCD1nurBCD 的法向量 则 或 2nurcos例 3:在正方体 ABCD- 中.（1）求二面角 ,的二面角1 1CAB的平面角（1）求二面角 的平面角的余弦值ADB4NMABDCO例 4.如图，在正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面） 1ABC中， ，D 是 1AB的中点，12AB点 E 在 上，且 E。（I） 证明平面 平面 1C（II） 求直线 AD和平面 所成角的正弦B值。 例 5.如图，在四棱
4、锥 中，底面 四边长为 1 的菱形，OABCDABC, , , 为 的中点， 为 的中点4ABC平2MONBC（）证明：直线 ；N平（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； DB1C1BA CA1 E5作业1. 正方形 ABCD 中，E、F 分别是 ， 的中点，求：（1）异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值；（2）二面角 CAEF 的余弦值的大小。2. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 于点 F。（1）证明： PA/平面 EDB；（2 ）证明：PB 平面EFD；（3）求二面
5、角 CPBD 的大小。3. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点，1ABCDO1BD为 的中点， 为 的中点， 为 的中点MBCNP（1） 求证： ；1DB（2） 求证： 平面 ；M（3） 求 与平面 成角的余弦值1CNP64如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，PABCDABCD ， ， ，且 ， 、ADBC90o底 面 2PABCM分别为 、 的中点N（1）求证： ；PDM（2）求 与平面 所成角的余弦值CAN5、如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= AD 12(I) 求异面直线 BF
6、 与 DE 所成的角的大小；(II) 求平面 AMD 与平面 CDE 所成角的大小；（III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 MQB CA DF EP76 三棱柱 ABC1中，侧棱 1A底面 BC.A， D为AB中点， C， 3， 13=.（I）求证： /1平面 D；（II ）求三棱锥 AC的体积. 7、 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P 为侧棱 SD 上的点。2（）求证： ； ACSD（）若 SD平面 PAC，求二面角 的大小；PACD（）在（）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E， 使得 BE平面 PAC。若存在，求 SE：EC 的值；若不存在，试说明理由。1CB1ABDCDBASP88.四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ，ABCDEBCDEABCDE， ， 2A（）证明： ；（）设 与平面 所成的角为 ，求二面角CEB45o的大小AD9 四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD。已知 ABC45，AB2，BC=2 2，SASB 3。() 证明：SABC；() 求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小；C DEAB
