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1、第 4 章 中值定理与导数的应用105第 4 章 中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理1费马定理 设 在 的某邻域连续，且 存在，则()fx0 0()fx或 ()fx2罗尔定理 若 在 连续，在 内可导，)(xfba,ba且 ，则至少存在一点 ，使得)(bfaf)(0(几何意义： 在点 处有水平切线。()yfx)(,f3. 拉格朗日定理 若 在 连续，在 内可导，则至少存在一点xba,),(ba，使得),(ba)()(faf几何意义： 在点 的切线平行于连接曲线在区间两端点的直线。yfx,推论 1：若 在 内恒有 ，则)(,b0)(f，cxf)(,a推论 2：若在 内， ，则)()(xgf
2、，cxf)(,b4. 柯西定理 若 在 连续，在 内可导，且 ，则至少存)(,xfba,),(ba()0gx在一点 ，使得 ),(ba)()(gfgf几何意义：在参数坐标系下点 的切线平行于连接曲线两端点直线。,f5. 泰勒公式 若 在 具有 阶导数，则 ，有)(xf0U1n0(,)x， 介于 与 之间() ()1000()!knknffx0x第 4 章 中值定理与导数的应用106余项估计式：设 ， ，则(1)maxnMf,xab()110)()!nnn MRa令 ，得麦克劳林公式0x， 介于 与 之间()(1)10()!knn nfffxxx0x常用函数的麦克劳林展开式；201()()!nk
3、nx neRxoxL；321 2120sin()()()!()!n knnkox22 2210co1()()!(!n knnkxxxRL；2 11 10ln()()()()nknnkxo 201()()nnnkxxRoL2(11() ()!nxR L4.2 导数的应用1. 罗必达法则 ,)(lim0(0xgfx L,)(li0)(0xgfx 振 荡 无 极 限非 未 定 式 A注意：振荡无极限法则失效。2. 导数在几何方面的应用（1）单调性判别法： (,)xab；)0()ff单 增单 减 ()0()fxf严 格 单 增严 格 单 减第 4 章 中值定理与导数的应用107（2）极值： 00()(
4、)fxfx称 极 大 值称 极 小 值 0()xU驻点：一阶导数为零的点极值必要条件：可导函数的极值点必为驻点极值第一充分条件： 000()(),()fxfxfx为 极 大 值为 极 小 值极值第二充分条件：若 ，则0()fx00()()ffx为 极 大 值为 极 小 值（3）函数的最值： f最 驻 点 、 不 可 导 点 、 端 点（4）曲线的凹向：（ ）1212()( ()xfxff fx下 凹 （ 上 凸 ）上 凹 （ 下 凸 ） 12,xI凹向判别法： 下 凹上 凹)(0)(xfyxf ),(0bax拐点：曲线凹向的分界点拐点必要条件：若 是拐点，且 存在，则必有)(,0f0()f 0
5、)(xf拐点第一充分条件： ，则 为拐点0xf,0x拐点第二充分条件：若 ， ，则 为拐点)(0f)(x)(f（5）渐近线：为水平渐近线bxf)(limy为铅直渐近线0x 0x， 为斜渐近线afx)(libafx)(li bay3. 导数在经济方面的应用（1）边际分析边际函数：在经济学中，导函数称为边际函数。其经济意义表示当自变量改变一个单位时函数的改变量（单位函数的改变量等于函数的变化率） 。第 4 章 中值定理与导数的应用108()()yfxf最大利润原则： ()0LRqC()RqC()其中， 成本； 收益； 利润； 销售量（产量） ； 价格C p（2）弹性分析弹性：相对变化率之比的极限，
6、其经济意义表示当自变量改变 时，函数改变1%（单位百分比函数的变幅） 。?%0()lim()yxxEyxf（3）需求弹性分析收益： ()1Rpf若 时，需求的变幅 价格的变幅， ，收益与价格同向变化；10R若 时，需求的变幅 价格的变幅， ；max若 时，需求的变幅 价格的变幅， ，收益与价格反向变化。常用公式：需求价格弹性： ； 供给价格弹性：()pf()p收益价格弹性： 1)Rp边际收益与需求弹性关系：； ()1)()qf11()()RQpq4.3 典型例题解析1. 关于微分中值定理的验证命题解题思路 验证定理的条件是否满足；若条件满足，求出定理结论的 例 2 验证拉格朗日中值定理对 在
7、上的正确性2(3)/1)1xf0,2解 显然 在 上连续，在 内可导)(xf0,12U),(,0U第 4 章 中值定理与导数的应用109， ，123)1(xf 213()limxf1()limxf故 在 处连续，从而 在 上连续。)(xff,01)(2li1)(li)1(1 xxffx )(lim)(li)(11 ff xx故 在 处可导，从而 在 内可导。且)(xf1f)2,0(21/xf于是 在 上满足拉格朗日定理， ，使)(xf2,0),0(0)(ff21f当 时， 121f当 时， 2)(f 2. 有关微分学的存在性命题解题思路 1 形如 的命题：()0nf（1）利用端点 阶导数的符号
8、及其导数的定义，验证 为 的最值或极值(1)nfx点，用费马定理求证；（2）已知一端点函数值，由介质定理确定另一端点函数值相等，在两端点函数值对应区间上运用罗尔定理求证；（3）利用已知条件和介质定理或某中值定理确定区间内点 ，在 ，0(,)xab0,x上运用( 或多次运用)罗尔定理求证；0,xb（4）若 ，利用函数在区间两端点的 阶泰勒展开式和闭区间连续函数()0nf1n的性质求证。例 4 设 在 上连续，在 内可导，且 ， ,证()fx,3(0,3)(0)(2)3ff()1f明必存在 ，使0()f第 4 章 中值定理与导数的应用110证 由题设知 在 上连续，必有最大值 和最小值 ，于是()
9、fx0,2Mmm(0)1(2)3ffm由介质定理，至少存在一点 ，使得,c1fc因为 ，且 在 上连续，在 内可导，由罗尔定理有()1(3)fcf()fx,3(,)，0(,)03c例 5 设 在 上二阶可导，且 ， ，证明至少)(xf,abfab()0fab存在一点 ，使 。,()f证 不妨设 ， ，则0f，()()()limli0xaxafff ()0fx(,)a，bbb由零点定理必有 ，0()f0(,)由于 ，在 ， 上分别运用罗尔定理有axf0ax,b， ； ，1()1(,)2(f20(,)xb再对 在 上运用罗尔定理有 ，()fx12, 1,a例 6 设 在 上二阶可导，连接点 与 的
10、直线，交)(xfba, )(f)(,f于 （ ）,证明至少存在一点 ，使得)(xfy,c,b0分析：三点 ， ， 在一条直线上，斜率相等由拉格朗日定)(f)(cf)(,f理有 ， ，再在 上运用罗尔定理。),(1ca,2b12证 由于 在 ， 上满足拉格朗日定理条件，分别有xfc,， ； ，)()(1fac),(ca)()(2fcbf),(bc又 ，且 在 内二阶可导，故 在 上满足罗尔定21ff xx1,理条件，至少存在一点 ，使得12(,)(,0)(f第 4 章 中值定理与导数的应用111例 7 设函数 在 上具有三阶连续导数，且 ， ，()fx1,(1)0f()1f证明至少存在一点 ，使
11、得 。(0)f()3f证 ， 在 与 之间，2(0)(0)!ffxfxxx,分别令 ， 得1，1()(1) 0!6fff 10，2(02两式相减得 ，又 在 上连续，必有最值。由介质定理有12()()6ff)fx1,，3mM(3f12(,)(,解题思路 2 形如 的命题：(),fC（1）若 代数式，将方程改写为拉格朗日定理或柯西定理的标准形式，由此引入C辅助函数，验证辅助函数满足相应微分中值定理的条件；（2）将方程改写为 的形式，由此引入辅助函数 ，验(),0f(),Fxf证 满足罗尔定理条件；()Fx（3）若方程同时含 ，将方程改写为 的形式，由此引入辅助函数()f(),0f，利用罗尔定理求
12、解。(),xf例 9 设 在 上可导，且 ，证明至少存在一点 ，)(x0,20()1xf0使得 。21()f证 即证 ，设 ，显然22()(0()1ff2()()1xFf在 上可导，且()Fx0,2lim()li01xxflim()0xf则，(0)()0Ff2()li()1xFf由罗尔定理至少存在一点 , 使得第 4 章 中值定理与导数的应用11221()()0)Ff21()f例 10 设 在 上二阶可导，且 ，证明至少存在一点xf0, 0f , 使得 。(01)2()()1f证 即证 ，()1)()(1)0fffff设 ，显然 在 上二阶可导，且 ，由罗尔()()FxxFx0, 0F定理至少
13、存在一点 , 使得0()又 ， ，对 在 上运用罗尔定理必有()1()xfxf1()x,1，2()0Fff2ff(,)0,1例 11 设 ， 在 上二阶可导，且 ， )(xfgba, ()0gx()fabga，证明：（1） ，使 ， （2） ，使()0gb(,)()0g,()f证（1）设 ，使 ，在 ， 上分别运用罗尔定理有(,)ab,a,b， ； ，10g1(,)2()0g2(,)对 在 上再次运用罗尔定理有 ， ，这与题设()x2,3312矛盾，命题得证。0g（2） ()()fgf()()()()fgffgf设 ，则由题设知()()()Fxfxfx0abgab()Fab由罗尔定理有，()()()Fff()ffg(,)a第 4 章 中值定理与导数的应用113其中，由（1）结论知 ，且由题设知()0g()0g例 12 设 在 上连续，在 内可导，且 ，求fx,1,11()0,()2ff证：（1）存在 ，使 ；（2）对任意实数 ，必存在 ，使得()2()f()f证（1）即证 ，设 ，显然 在 上连续，且()0fx()x0,1；1122f()1f由零点定理知，存在 ，使 ，即(,)()0（2）即证 ，或1()0ff ()()exxe
