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1、专题复习二十讲1第 20 讲 抛物线一、知识梳理： 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( 0p)：标准方程 pxy2xy2pyx2pyx2图形 O O x焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 轴 轴顶点 （0，0 ）离心率 1e2.抛物线的焦半径、焦点弦 )0(2pxy的焦半径 PF2x; )0(py的焦半径 PF2y； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 2p. AB 为抛物线 pxy2的焦点弦，则 BAx 42， BAy2p， |= pxBA3. xy2的参数方程为 pty2（ 为参数）
2、， x2的参数方程为 2ty（ 为参数）.3.学习要点1.注意抛物线标准方程 与 的联系及区别.2(0)ypx2yax2.抛物线上的点与焦点的连线常转化为该点到准线的距离.二、基础检测：1. 抛物线 y=4 2x上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( )A. 167B. 165C. 87D. 0专题复习二十讲2点拨：抛物线的标准方程为yx412，准线方程为 16y,由定义知，点 M 到准线的距离为 1，所以点 M 的纵坐标是 1652. 已知抛物线2(0)ypx的焦点为 F，点 12()()Pxyy， 3()Pxy在抛物线上，且 |1FP、 |2、 |3P成等差数列， 则有
3、（）A 321x B 321yC D. 解析C 由抛物线定义， 213()()(),2ppxx即： 231x 3. 已知点 ),43(AF 是抛物线 y8的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MFA最小时,M 点坐标是 ( )A. )0,(B. )62,(C. )4,2(D. 62,3解析 设 M 到准线的距离为 K,则 KMAF| ，当 A最小时，M 点坐标是)4,2(，选 C4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5； 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（ 2，1）.能使这抛物线
4、方程为 y2=10x 的条件是_.（要求填写合适条件的序号）解析 用排除法，由抛物线方程 y2=10x 可排除，从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 Y 轴的交点，A 为抛物线上一点, 且 3|,17| AFM，求此抛物线的方程解析 设点 是点 在准线上的射影，则 3|A，由勾股定理知 2|M，点 A 的横坐标为)23,(p，代入方程 pyx2得 或 4，抛物线的方程 yx42或yx826. 若直线 10a经过抛物线24的焦点，则实数 a 解析-1专题复习二十讲37.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、B,若 A、B 在抛物线准线上的射影为 1
5、,BA,则 1BA ( C )A. o45 B. o60 C. o9 D. o1208.过抛物线 xy2的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于)(2Ra，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在解析C 4)1(5|2aapxABB，而通径的长为 49. 在平面直角坐标系 Oy中，若抛物线 4xy上的点 P到该抛物线焦点的距离为 5，则点 P 的纵坐标为 （）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用抛物线的定义，点 P 到准线 1y的距离为 5，故点 P 的纵坐标为 410. 两个正数 a、 b 的等差中项是9
6、2，一个等比中项是 2，且 ,ba则抛物线2()ybax的焦点坐标为( ) A10,4B0,C1(,02D1(,0)4解析 D. ,5aba11. 如果 1P， 2， 8是抛物线2yx上的点，它们的横坐标依次为 1x， 2，8x，F 是抛物线的焦点，若 )(,21NnxL成等差数列且 45921xL，则|5=（ ） A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义，可知12iiipPFx（ ，2，n） ，)(,21NnxLQ成等差数列且 45921xL, , |5FP=612.抛物线 ,4Fy的 焦 点 为准线为 l，l 与 x 轴相交于点 E，过 F 且倾斜角等于 60的直线与抛物线在 x
7、 轴上方的部分相交于点 A，ABl，垂足为 B，则四边形 ABEF 的面积等于（ 专题复习二十讲4）A 3 B 4 C 36 D 38解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，设 ),(nmA，则1,1mOFHmF， 32,)1(2m四边形 ABEF 的面积=32)(2613.设 O是坐标原点， F是抛物线 4yx的焦点， A是抛物线上的一点， FAur与 x轴正向的夹角为 60o，则 Aur为 解析 21. 过 A 作 Dx轴于 D，令 Fm，则 A2即 m2，解得 2)32,(1)32(O三、典例导悟：14.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过
8、点(-3,2) (2)焦点在直线 240xy上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为2p或2()p,过点(-3,2) 9)3(4或293p或抛物线方程为243yx或29y,前者的准线方程是1,x后者的准线方程为98(2)令 0得 2y，令 0得 4x，抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p, 8p，此时抛物线方程216yx;焦点为(0,-2)时专题复习二十讲5 4p，此时抛物线方程28xy.所求抛物线方程为 16y或 ,对应的准线方程分别是 4,2xy.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面15. 已知
9、抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点 ( )3,mA0到焦点 的距离为 5，求 的值，并求此抛物线的方程.Fm解 故交点只能在 轴的负半轴上或 轴的正半轴上0mQyx(1) 若抛物线的焦点在 轴的负半轴上，设抛物线的方程 )0(2pyx准线方程为 依条件有 为所求的方程.2pypp845)3(2将点 代入上面的方程得 或 （舍）.)3,(mA6m（2 ）若抛物线的焦点在 轴的正半轴上，设抛物线的方程为x 2(0)yax准线方程为 2ax依条件有 消去 并整理得 解得 或59m2109a1a9当 时 ；此时所求的方程为 ；当 时 ，此时所求的方程1a22yxm为 28yx16.
10、 已知抛物线2:axyC（ 为非零常数）的焦点为 F，点 P为抛物线 c上一个动点，过点 P且与抛物线 c相切的直线记为 l（1 ）求 F的坐标；（2）当点 P在何处时，点 到直线 l的距离最小？解：（1）抛物线方程为yax12故焦点 的坐标为)41,0(a（2 ）设200 ),(yxP则2 0xka ） 的 切 线 的 斜 率点 处 抛 物 线 （ 二 次 函 数在Q直线 l的方程是 )(200xaxy 2200axy即 . 4141)(2(41 2020axd专题复习二十讲6)0,( 0的 坐 标 是此 时时 上 式 取 “ ”当 且 仅 当 Px .LF,)(P的 距 离 最 小到 切
11、线处 时 ， 焦 点在当17. 已知抛物线 C 的一个焦点为 F（ 21，0） ，对应于这个焦点的准线方程为 x=- 21.（1 ）写出抛物线 C 的方程；（2 ）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，O 点为坐标原点，求AOB 重心 G 的轨迹方程；（3 ）点 P 是抛物线 C 上的动点，过点 P 作圆（x-3） 2+y2=2 的切线，切点分别是 M，N. 当P 点在何处时， |MN|的值最小？求出|MN|的最小值.解：（1）抛物线方程为：y 2=2x. （4 分）（2 ） 当直线不垂直于 x 轴时，设方程为 y=k(x- 21)，代入 y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+0
12、42k.设 A（x1，y1） ，B(x2，y2)，则 x1+x2= 2k，y1+y2=k(x1+x2-1)= k2.设AOB 的重心为 G（x ，y）则kyyxx32012，消去 k 得 y2= 923为所求， （6 分）当直线垂直于 x 轴时，A （ 21，1） ，B（ 21，-1） ， （8 分）AOB 的重心 G（ 31，0）也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为 y2= 923x， （9 分）（3 ）设已知圆的圆心为 Q（3，0） ，半径 r= ，根据圆的性质有：|MN|=222 |1| PQPQrrPM. 当|PQ|2 最小时， |MN|取最小值，设 P 点坐标为(x0，y0)，则 y 20=2x0.|PQ|2=（x0-3 ）2+ y 20= x -4x0+9=(x0-2)2+5，当 x0=2，y0=2 时，|PQ|2 取最小值 5，故当 P 点坐标为（ 2，2）时，|MN|取最小值302.
