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1、The first assignments about Group Theory (2012)1，List the conditions for a set to form a group, and verify the set for whole complex numbers but zero construct a group according to multiplication rule; and the set for whole complex numbers including zero construct a group according to addition rule.
2、解：一个集合构成一个群的条件是（1）集合中有唯一的单位元 e,对于集合中的任意元素 f ,都有 ef=fe=f（2）满足群的封闭性；对于集合中的任意两个元素 f,g, 如果有 fg=h,则 h 也在集合中（3）满足结合律；对于集合中的任意元素 f,g,h,都满足(fg)h=f(gh)（4）满足集合中的每个元素都存在逆元素。对于除去 0 以后的全体复数组成的集合必定满足群的封闭性和结合律（因为每个元素都是数字） ，同时存在唯一的单位元素 1，而且对于每个元素 都存在其逆元素 .即同时0t t1满足群的四个条件，构成一个遵循乘法规则的群。对于全体复数组成的集合必定满足群的封闭性和结合律（因为每个元
3、素均为数字） ，同时集合中存在唯一的单位元素 0，满足 0+a=a+0=a(a 为集合中的除 0 外的任意元素) ，而且对于每个元素 a 具有它的逆元素-a,a+(-a)=(-a)+a=0。即同时满足群的四个条件，构成一个遵循加法规则的群。2，Find the similarity transformation to diagonalize the following matrices(1), (2), 120- cosini -解：（1）设矩阵的本征值为 ，则矩阵的本征方程为；04212解得到三个本征值 ;2;321ii设本征向量为 ；Tx3当 时， ；213213210x可以得到 ，令 ，
4、得到一个本征向量;231x1。T0同理，当 时，可求得一个本征向量 ；i2Ti12当 时，可求得一个本征向量 ；31所以相似变换的矩阵为 ；120i得到的对角化的矩阵为 ；i20解：（2）设矩阵的本征值为 ，则矩阵的本征方程为0cossini iie得到本征值为 iie21,设本征向量为 Tx当 时， ，ie1 2121cosinixei；令 ，可以得到一个本征向量为 。21ix Ti当 时，可以得到一个本征向量为ie1所以相似变换的矩阵为 ，i1变换后的对角化矩阵为 iie03，Demonstrate that the three roots of equation, , construct
5、 a group called 310x3Caccording to the general product rule. Extend above conclusion to set of roots of equation,.10,nxN证明：方程 的三个根为3 ;231;231;1 ixix它们组成一个集合 M= 2312311 ixix通过计算有 ，记 ，则 ， ；32xw2331w集合中存在唯一的单位元 1；的逆元素为 1，在集合中 M 中；1x的逆元素为 ，在集合 M 中；2 32x的逆元素为 ，在集合 M 中。3x2w所以 M 中每个元素都存在逆元。集合中的每个元素，均为数字，必然满足乘法计算的结合律同时又有 ；在集合 M 中；21x；在集合 M 中；31x在集合 M 中。即任何两个元素的乘积都是集合 M 中的一个元素。2所以 M 满足群的定义，是一个群，我们记为 ，即 是一个群。3C推广上面的结论：将 3 变为 n 时，方程有 n 个根，同样满足在方程的根组成的集合中每个元素存在逆元；集合中存在唯一的单位元 1；满足乘法计算的结合律；而且满足任何两个元素的乘积是集合中的一个元素。满足群的定义，记为 n
