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1、精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 1 / 19高数下册总结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.一阶微分方程的解法小结：二阶微分方程的解法小结：非齐次方程 y?py?qy?f 的特解 y?的形式为：主要:一阶 1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求?z?x时，应将 y 看作常量，对 x 求导，在求?z?y时，应将 x 看作常量，对 y 求导
2、，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设 z?f?u,v?，u?x,y?，v?x,y?，则?z?x精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 2 / 19?z?u?u?x?z?v?v?x?，?z?y?z?u?u?y?z?v?v?y几种特殊情况：1）z?f?u,v?，u?x?，v?x?，则 2）z?f?x,v?，v?x,y?，则?z?xdzdx?f?vdzdu?u?x?z?v?dvdx?v?y精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 3 / 19?f?x?v?x，?z?y?f?u?3）z?f?u?，u?x,y
3、?则 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况?z?x?dzdu?u?x，?z?y?dzdu?u?y设 z?z?x,y?是由方程 F?x,y,z?0 唯一确定的隐函数，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 4 / 19则?z?xFxFz?Fz?0?，?z?y?FyFz?Fz?0?或者视 z?z?x,y?，由方程 F?x,y,z?0 两边同时对 x 求导解出2）方程组的情况?z?x.?F?x,y,u,v?0?z?z)即可. 由方程组?两边同时对 x 求导解出成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数 F?x,y?f?x,y?x,y?，其中?为
4、参数，解方程组精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 5 / 19高数小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.一阶微分方程的解法小结：二阶微分方程的解法小结：?非齐次方程 y?py?qy?f 的特解 y 的形式为：主要:一阶 1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求?z?z 时，应将 y 看作常量，对 x 求导，在求时，应将x 看作常量，对 y
5、 求导，所运?x?y用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设 z?f?u,v?，u?x,y?，v?x,y?，则?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v?，? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 6 / 191）z?f?u,v?，u?x?，v?x?，则 2）z?fdzdz?u?zdv? dxdu?x?vdx?f?v?x,v?，v?x,y?，则?x?x?v?x，?z?f?z?f?v? ?y?u?y3）z?f?u?，u?x,y?则 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况?zdz?u
6、?zdz?u?， ?xdu?x?ydu?y设 z?z?x,y?是由方程 F?x,y,z?0 唯一确定的隐函数，则F?z?x?xFz?Fz?z?0?， ?yFyFz?Fz?0?或者视 z?z?x,y?，由方程 F?x,y,z?0 两边同时对 x 求导解出精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 7 / 192）方程组的情况 由方程组?z?z. ?x?y?F?x,y,u,v?0?z?z两边同时对 x 求导解出即可.?x?y?G?x,y,u,v?0二、全微分的求法 方法 1：利用公式 du?u?u?udx?dy?dz ?x?y?z方法 2：直接两边同时求微分，解出 du
7、 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：?z?zdu?dv?v?udz?z?z?dx?dy?y?x三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法?x?t?1）设空间曲线 的参数方程为 ?y?t?，则当 t?t0时，在曲线上对应点?z?t?精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 8 / 19P0?x0,y0,z0?处的切线方向向量为T?t0?,?t0?,?t0?，切线方程为?x?x0y?y0z?z0?t0?t0?t0 法平面方程为 ?t0?x?x0?t0?y?y0?t0?z?z0?02）若曲面?的方程为 F?x,y,z?0，则在点P0?x0,y0,z0?处的法向量?n
8、?Fx,Fy,Fz?P0，切平面方程为Fx?x0,y0,z0?x?x0?Fy?x0,y0,z0?y?y0?Fz?x0,y0,z0?z?z0?0 法线方程为x?x0y?y0z?z0?Fxx0,y0,z0Fyx0,y0,z0Fzx0,y0,z0若曲面?的方程为 z?f?x,y?，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量?精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 9 / 19n?fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为fx?x0,y0?x?x0?fy?x0,y0?y?y0?z?z0?0 法线方程为x?x0y?y0z?z0?fxx0,y0fyx0,y
9、0?1四、多元函数极值的求法 1 无条件极值的求法设函数 z?f?x,y?在点 P0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由 fx?x,y?0，fy?x,y?0，解出驻点?x0,y0?，记 A?fxx?x0,y0?，B?fxy?x0,y0?，C?fyy?x0,y0?.C?B1）若 A时有极小值.2） 若 AC?B2?0，则 f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.3） 若 AC?B?0，不能判定 f?x,y?在点?x0,y0?处是否取得极值.22?0，则 f?x,y?在点?x0,y0?处取得极值，且当 A?0 时有极大值，当 A?02 条件极值的求法精品文档2016 全新精品资料-全新公
10、文范文 -全程指导写作 独家原创 10 / 19函数 z?f?x,y?在满足条件?x,y?0 下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件?x,y?0 解出 y 代入f?x,y?中，则使函数 z?z 成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数 F?x,y?f?x,y?x,y?，其中?为参数，解方程组第八章 向量与解析几何- 2 - 3 -第十章 重积分- 4 - 5 -第十一章曲线积分与曲面积分- 6 -积分方法大盘点现把我们学了的积分方法做个大总结。 1、二重积分X 型区域上二重积分后 x 先 y 积分，D 往 x 轴上的投影得区间a,b； x a,b，X=x 截 D 得
11、截线 y1yy2；by 蝌 fdxdy=精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 11 / 19蝌 dx2fdyayD1Y 型区域上二重积分后 y 先 x 积分，D 往 y 轴上的投影得区间c,d； y c,d，Y=y 截 D 得截线 x1xx2；dx 蝌 fdxdy=蝌 dy2fdxcxD1极坐标二重积分总是后 q 先 r 积分； br 蝌 fds=蝌 dq2frdrarD1 其中，在 D 上 a 是最小的 q，b 是最大的 q；q a,b，精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 12 / 19射线 Q=q 截 D 得截线 r1r
12、r2。用坐标关系x=rcosq，y=rsinq 和面积元素 ds=dxdy=rdqdr 代入。当积分区域 D 的边界有圆弧，或被积函数有 x2+y2时，用极坐标计算二重积分特别简单。离 散数 学2、三重积分二套一方法 几何准备将积分区域 W 投影到 xOy 面，得投影区域 Dxy；以 Dxy 的边界曲线为准线，作一个母线平行于 z 轴的柱面柱面将闭区域 W 的边界曲面分割为上、下两片曲面S2:z=z2dxdydz=蝌dxdy2fdzz。WD1xy还有两种类似的二套一方法。 一套二方法 几何准备把 W 往 z 投影得轾犏臌c,d； 任意给定 z?轾犏臌c,d，用平面 Z=z 截 W 得截面 Dz
13、； d 蝌蝌精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 13 / 19fdxdydz=dzfdxdy，c蝌WDz还有两种类似的一套二方法。 柱面坐标计算三重积分把积分写成二套一 zx,y)蝌蝌fdxdydz=蝌dxdy2dzz,y)WD1dv=蝌dxdy2fdzzWD1xybr2zrcosq,rsinq)=蝌 dqrdrfdz精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 14 / 19ar 2z1。还有两种类似的极坐标计算方法。离 散数 学球面坐标计算三重积分用坐标关系 x=rcosqsinjy,=rsiqnsjinz=,rjc 和 o 体积元素dV=dxdydz=r2sinjdrdqdj 代入蝌蝌 fdv=蝌fr2sinjdrdqdj；WW精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 15 / 19三种情况定上下限变成三次积分蝌fdvWbjr =
