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1、精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 1 / 21韦达定理总结一 教材分析本节教学内容为“韦达定理的应用” ，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标:二 教学目标1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。2、提高学生综合应用能力三 教学重难点重点:运用韦达定理解决方程中的问题难点:如何运用韦达定理四 教学过程回顾旧知，探索新知上节课我们学习了韦达定理，我们
2、回忆一下什么是韦达定理?2 如果 ax?bx?c?0 的两个根是 x1,x2那么 x1?x2?bc,x1?x2? aa老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 2 / 21与系数的关系，如果在方程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。)举例分析例 已知方程 5x?kx?6?0 的一根是 2，求它的另一根及k 的值。 请同学们分析解题方法:思路:应用解方程的方法，带入法解法一:把 X=2 代入方程求的 K=-7把 K=-7 代入方程:5x?7x?6?0 运用求根公式公式解得?x1
3、?2,x2?223 5提问:同学们还有没有其它方法呢?启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。解法二:设方程的两根为 x1,x2，则 x1?2,x2 是未知数用韦达定理建立关系式 632x2?,?x2? 55k?x2?2?,?k?75 3?x1?2,x2?,k?75对比分析，第二种方法更加简单总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某些代数式的值例 2 不解方程，求一元二次方程 2x23x10 两根的精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 3 / 21平方和；倒数和方法小结:运用韦达定理
4、求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用 x1?x2,x1?x2 的代数式表示。格式、步骤要求规范: 将方程的两根设为。 求出x1?x2,x1?x2 的值 。 将所求代数式用 x1?x2,x1?x2 的代数式表示 。 将 x1?x2,x1?x2 的值代人并求值。三 综合运用 巩固新知1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是解：2、设 x1,x22?x1?1?x2?1? ?x1?x2? 2x2x1 ?x1x2217，求 M 的值板书设计中考数学解题方法专题归纳与提升韦达，1540 年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、
5、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 4 / 21认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父” 。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个 45 次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的 22 个正数解。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系
6、，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接.若 x1、x2 是关于一元二次方程 ax2+bx+c 的两个根，则方程bc的两个根 x1、x2 和系数 a、b、c 有如下关系：x1+x2=-a x1?x2=a把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点为 A，B利用根与系数关系定理可以得到 A、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 5 / 21设二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的
7、两个交点A，B，抛物线的顶点为 C，显然ABC 为等腰三角形当ABC 为直角三角形时，求 b2-4ac 的值； 当ABC为等边三角形时，求 b2-4ac 的值.阅读材料：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个实数根为 x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：1已知 x1，x2 是方程 x2+4x+2=0 的两个实数根，则.已知关于 x 的方程 x2+2x+a2-7a-b+12=0 有两个相等的实数根，且满足 2a-b=0 利用根与系数的关系判断这两根的正负情况若将 y=x2+2x+a2-7a-b+12 图象沿对称轴向下移动 3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程.设一元
8、二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于 x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0 的两个实数根分别是 x1，x2，且满足x1+x2=x1?x2则 k 的值为二 名词释义一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别，=b2-4ac，不精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 6 / 21仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方
9、程组 根公式 二次三项式的因式分解根系关系的三大用处 计算对称式的值例 若 x1,x2 是方程 x?2x?2007?0 的两个根，试求下列各式的值： x12?x22；211?； x1x2； |x1?x2|解：由题意，根据根与系数的关系得：x1?x2?2,x1x2?2007x1?x2?2x1x2?2?4018 222211x1?x2?22精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 7 / 21?x1x2x1x2?20072007?x1x2?5?25?2007?5?25?19722|x1?x2|?说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x12?x22?2?
10、2x1x2，11x1?x2，2?2?4x1x2，?x1x2x1x2|x1?x2|?x1x22?x12x2?x1x2，x13?x23?3?3x1x2 等等韦达定理体现了整体思想构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组 x+y=5Xy=6解：显然，x，y 是方程 z-5z+60 的两根 由方程解得 z1=2,z2=3 原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 定性判断字精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 8 / 21母系数的取值范围2例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求 k 的取值
11、范围。解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a、b 为由题意知k-4220，k4 或 k-42的两根，则 c=23为所求。三 典题示例例 1 已知关于 x 的方程 x?x?212k?1?0，根据下列条件，分别求出 k 的值 4方程两实根的积为 5； 方程的两实根 x1,x2 满足|x1|?x2分析： 由韦达定理即可求之； 有两种可能，一是x1?x2?0，二是?x1?x2，所以要分类讨论解： 方程两实根的积为 5精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 9 / 2112?2?4?0?3?4?k?,k?4 ?2?xx?1k2?1?512?4所以，当 k?4 时
12、，方程两实根的积为 5 由|x1|?x2得知：当 x1?0 时，x1?x2，所以方程有两相等实数根，故?0?k?3； 2当 x1?0 时，?x1?x2?x1?x2?0?k?1?0?k?1，由于 ?0?k3，故 k?1 不合题意，舍去 2综上可得，k?3时，方程的两实根 x1,x2 满足|x1|?x2 2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足?0例 2 已知 x1,x2 是一元二次方程 4kx?4kx?k?1?0 的两精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 10 / 21个实数根24是否存在实数 k
13、，使?请您说明理由 求使3成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，2x1x2?2 的值为整数的实数 k 的整数值 x2x13成立 2解： 假设存在实数 k，使?2 一元二次方程 4kx?4kx?k?1?0 的两个实数根 ?4k?0?4?4k?16k?022?k?0，又 x1,x2 是一元二次方程 4kx?4kx?k?1?0 的两个实数根?x1?x2?1? ?k?1x1x2?4k?精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 11 / 21 ?2?5x1x2?22?9x1x2 ?k?93?k4k29，但 k?0 53成立 2不存在实数 k，使?x1x2x12?x2224
14、k4 ?2?2?4?4?x2x1x1x2x1x2k?1k?1 要使其值是整数，只需 k?1 能被 4 整除，故k?1?1,?2,?4，注意到 k?0，要使x1x2?2 的值为整数的实数 k 的整数值为?2,?3,?5 x2x1说明： 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在本题综合性较强，要学会对4为整数的分析方法 k?15根与系数的关系 2精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 12 / 21教学目标：1、 会利用韦达定理求出与根有关的代数式的值2、 学会灵活多变的代数式变形3、 会求作新方程一、知识回顾1、设、代数式是方程= 。 的两根，则两根之和为 两根之积为 则学生讲
