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1、MGFEDCBAOABCD E平移、对称在几何证明中的应用板块一：平移在几何证明中的妙用例 1 在正方形 中， 、 、 三边上分别有点 、 、 ，且ABCDBCDEGF求证： EFDGEFG ABCDEFG【答案】证明：过 C 作 CM DG，交 AB 于 MEFDGCMEF四边形 ABCD 为正方形ABCD，BC=CD，B= DCG =90四边形 EMCF 为平行四边形CM=EFBMC+ BCM=90= DGC+BCM BMC= CGD在BMC 和CGD 中BMCGDBMCCGD（AAS ）CM=DG= EF例 2 线段 ABCD1，且 AB、CD 相交于点 O， AOC 60 求证：ACB
2、D1 【答案】证明：过 C 作 CEDB 且使 CE=DB，连结 BE、AE则四边形 CDBE 为平行四边形BECD，BE =CDABCD1，AOC60AB=BE=1 ，ABE=60ABE 为等边三角形， AE=AB=1AC+BD=AC+CE，AC+CEAE即 AC+BD1例 3 如图，长方形 ABCD 中，横向阴影部分是长方形， 纵向阴影部分是平行四边形，根据图中的标注的数据，求 空白部分的面积【答案】解：法 1： ，则空白部分的面积为2Sacb阴 影 22()abSc阴 影法 2：图中“底为 c 高为 b 的平行四边形”的面积和“底为 c 高为 b 的矩形”的面积相等，因此可以转化为“底为
3、 c 高为 b 的平行四边形” ，因此空白部分的面积为2()ca法 3：将左侧的两个直角梯形向右平移距离 c，根据平行四边形的性质能和右侧拼成上下两个矩形；上面的矩形向下平移距离 c 组成了一个矩形，空白部分的面积为 2()cbab练习：如图，在长为 32m，宽为 20m 的长方形地面上修 2m 宽的两条不规则的路，余下的部分作为耕地，请你利用平移知识求出图中白色部分的面积.ccbaFEPA 北 东B小 屋牧 童 A小 河PBA NMA【答案】解：如下图所示将图形分成矩形小块，利用平移的知识最终将空白部分转化为长、宽分别为 30m 和 18m 的矩形，则空白部分的面积为3018=540（ ）板
4、块二：奶站问题导入：在直线 MN 上找一点 P，使得在直线同侧的点 A、B 到 P 的距离之和APBP 最短。 BA NM【答案】作点 A 关于 MN 的对称点 A，连结 AB 与 MN 交于点 P，则点 P 为符合题意的点！例 4 如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【答案】解：作点 A 关于小河南岸的对称点 A，连结 AB 与小河南岸交于点P，则点 P 为符合题意的点，此时 BP+AP 的长最短！由题意可知：AA=2AE=8km，FA=15km ，
5、 FB=8km在 RtA BF 中， 28157BBP最短路径为 17km例 5 如图，E 为正方形 ABCD 的边 AB 上一点，AE =3 ，BE=1,P 为 AC 上的动点，则 PB+PE 的最小值是？AB小河东北牧童小屋PEABCDDCBAEPl1l2OPP1P2ABPEABCD【答案】解：连结 DP 如右上图四边形 ABCD 为正方形点 B 和点 D 关于对角线 AC 对称BP=PD，要使 PE+PB 最小只需 PE+PD 的和最小如右下图，连结 DE 交 AC 于点 P，此时 PE+PB 的最小AE=3，BE =1AD=AB=4在 RtADE 中 2345EBEPB+PE 的最小值
6、为 5例 6 如图，直线 l1、l 2 交于点 O，P 是两直线间的一点，在直线l1、l 2 上分别找一点 A、B，使得PAB 的周长最短。【答案】解：分别作点 P 关于直线 l1、l 2 的对称点 P1、P 2，连结 P1、P 2 交 l1、l 2于 A、B 两点，此时PAB 的周长最短。练习 如图，直线 l1、l 2 交于 O，A 、B 是两直线间的两点，从点 A 出发，先到 l1 上一点 P，再从 P 点到 l2 上一点 Q，再回到 B 点，求作 P、Q 两点，使 APPQ QB 最小.【答案】解：分别作点 A 关于直线 l1 的对称点 A，点 B 关于直线 l2 的对称点B，连结 A、
7、 B交 l1、l 2 于 P、Q 两点，此时 APPQ QB 最小。QPBAOBl1l2例 7 在ABC 中， ABC90，ABBC4，在 AC 上找点 M，在AB 上找点 N，使得 BMMN NC 最短，并求出最短值. NMAB C【答案】解：分别作点 B 关于 AC 的对称点 B，点 C 关于 AB 的对称点 C，连结 C、B 交 AC、 AB 于 M、N 两点，此时 BMMNNC 最小且最小值为 B C的长度。连结 AB、CB，CBAMN BCFEA乙(C) 乙(D)BPBA BQlAABC 为等腰直角三角形，B 为 B 关于 AC 的对称点AB=AB=BC=CBABC=90 四边形 A
8、BCB为正方形CB=4，BCB=90C为 C 关于 AB 的对称点BC =BC =4在 RtB CC中，2485BMNBMMNNC 的最小值为 4板块三：天桥问题例 8 如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥.问：桥修建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意，桥必须与街道垂直. 乙乙【答案】过甲单位所在的 C 点作 CA 平行于街道 EF，且 CA=EF，连结 AD 交街道南侧于点 B 如图所示，在点 B 处 建过街天桥能使从甲到乙的路线最短。例 9 如图， A、B 是直线 l 同侧的两点，定长线段 PQ 在 l 上平行移动，问 PQ 移动到什么位置时，能使
9、 AP+PQ+QB 的长最短？ lQPBA【答案】过 B 作 BBPQ 且 BB=PQ，作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连结 A B交直线 l 于点 P，定长线段 PQ 也整体移动到此位置，此时 AP+PQ+QB最短。例 10 如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意 一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM .（1）求证：AMBENB ；（2）当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由；（3）当 AMBM CM 的最小值为 时，求正方形的边长
10、.13【答案】证明：（1）BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BNBM=BN，MBN=60 EA DB C CNMNMCBEADCBEADMGFABE 为等边三角形AB=AE，ABE=60ABM +ABN =60=ABN+EBNABM =EBN在ABM 和 EBN 中ABEMNABM EBN（SAS）（2）连结 AC 交 BD 于 M，此时 AMCM 的值最小；BM=BN，MBN=60BMN 为等边三角形MN=BMABM EBNAM=ENAMBMCM=EN+NM+CM连结 CE 交 BD 于 M，交 BN 或其延长线于点 G，如右图由（1）可知EBG= ABM=45=CBMEB=BCBEG=BCM在BEG 和BCM 中BEGCNMBEGBCM （ASA）BM=BG，又BM=BNN 与 G 重合，此时 E、N、M、C 四点共线EC 的长即为 AMBM CM 的最小值过 E 作 EFCB 交 CB 的延长线于 F设 EF=aEBF=180-60-90=30BE=BC =2a， 3BF 2222(13)(3)CEFaa a则正方形的边长为 2a 等于 .
