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1、基于矩量法的二维金属体散射计算1 问题的描述本题是用矩量法计算二维金属圆柱体的散射场，如图所示为一圆柱体和一个椭圆柱的截面，为了计算简单，选入射波为垂直 z 轴入射的 TM 或 TE 平面波 y x y2izEizEx22 矩量法求解过程2.1 电场积分方程 2.1.1 问题的分析由麦克斯韦方程组 (1) HjE(2)J可得电场积分方程为(3)20 )()4)( dsKZExz 表示在圆柱表面的面电流在远处产生的总场。设入射场为 E ，散射场为 E ， 由金属izsz表面的边界条件=0 (4)szizE得 (5)20 )()4)( dlKHJZCziz 2.1.2 离散化设入射波为 ,将散射体
2、截面 C 分为 N 份C ，用点匹配法对上述积分)sinco(yxjkizeE n式子进行离散化， 即基函数可取(6)上在其 它nf 10)(可得下列离散方程：PJ=b (7)其中： (8)dtyxKHZPmmCmnn )()(42220(9)sico(miyxikeb当 mn 时，(10)(42220 mnmnn yxKZP当 m=n 时 解析积分为(11)eCjCnnn 4lg1其中 =1.781,e=2.7182.1.3 方程组的求解可用 LU 分解求解方程组，即 P=LU ，其中 P 为可逆矩阵， L 为上三角矩阵，U 为下三角矩阵，则可利用这两个基本的三角矩阵进行求解 J，求出 J
3、之后，就可求散射场(12)dleyxJKZFyxjkzCs )sin()co(,()( (13)4/3(81Kj与二维场中的散射截面(14)2)sin()co(2),(4)( dleyxJZyxjKCz 2.1.4 输出结果的验证此散射问题也可用模式展开法进行求解，可用此结果对本问题进行验证。所得 J 为(15)njnz KRHeEJ202.2 磁场积分方程对于 TE 波垂直与 z 方向入射时的金属体的散射。对于一般的 TE 波而言只有场分量，电流密度方程只有横向分量。则 MFIE 为：yxz和,(16) yAxJJ StSAzttincz )()()(其中(17)2(0 41)()()( d
4、tkRjtttAH y22 )()(tytxRy tdlnxx(18) )(si)(co)(tytxt其中 t 表示边界上的一点， 是 和 X 的夹角。dl根根据前面的过程，圆柱边界分成 N 分。等效电流密度可以近似为一些脉冲函数的迭加：(19)Nnt tpjJ1)()(其中 (20)其 它 上在如 果0)(nCt则得到(21)HjZinczmn矩阵非对角元(22)2(1 )(cos)()(si4 dtkRtyttxtjk mmCmn HRn (23)22 tytxRm在 上认为是常量故n(24)()cos(si )21mmnmnm kRZ对角元 (25)21n其中 2nmnmyxR回波宽度的
5、近似公式为：(26)21 )sinco()si(4)( Nn yxjknTE neCjk 3 计算机数值实验及分析本论文通过数值计算验证前面理论分析的结果，并对数值计算结果进行分析。分别以金属圆柱体和金属椭圆体为计算例子，做数值实验和分析。所使用的计算机程序是商业软件 MATLAB6.5，数值实验在本人机子（ celeron4 1.8G CPU 128M 内存）,操作系统是windows xp。3.1 二维金属圆柱体的散射基于上面的分析，考虑垂直 z 方向入射的横向磁波（TM）,离散方程为（7）,编程的基本思路是对(10) 式和（11）式编程实现，得出p矩阵，再由(9)式得出b列，用 MATL
6、AB6.5软件上的线性方程组直接求解法求解出J。散射截面（回波宽度）可以通过（ 14）式离散计算出来。计算例子是一个 z 方向均匀且无限长的金属圆柱，半径为 1.5 米（ ） ，金属5.0R圆柱中心和 z 轴重合，入射波为 z 方向极化，幅值为 1，从负 x 轴方向垂直 z 轴入射的 TM平面波，工作频率为 100MHz，波长 米。由于是金属体且 z 方向均匀，可以只考虑对3垂直 z 轴截面的圆周进行剖分并计算。下图给出了 720 个剖分下电流密度分布的计算结果与近似解析解的比较，其中近似解析解是根据导波理论书上 3.48 式(本文的（15）式)在 n=-36 到 n=36 下计算出来的。计算
7、时入射角取为 0 度。其中 x 轴为 ，y 轴为电流密度，由图可见，电流密度分布和近似解析解无论幅度)/(相位之间都有着非常好的吻合。计算所得的总等效电流 Iz-0.0079 + 0.0083i,而在剖分精度为 180 时，计算所得的总等效电流 Iz =-0.0084 + 0.0083i。而解析解的总电流 Iz =-0.0077 + 0.0083i，可见随着剖分精度的增加，计算结果收敛于解析解。图 1（a）EFIE ，剖分精度 72035.0R 图 1（b）EFIE 近似解析解35.0R下图给出的是回波宽度的分布图 1（c）EFIE 剖分精度 72035.0R其中 x 轴为 ，y 轴为 ，据个
8、人粗略分析应该基本符合事实。由于没能)/(dB/2得到回波宽度的解析解，没能作进一步的分析比较。下面给出入射角为 90 度，半径 ，而其他条件不变的情况下，所得的计算结2.0R果。（d）EFIE 剖分精度 720390,2.iR由此可见，相对前面那种情况，入射角变化 90 度，等效电流密度分布也相应有 90 度的相移，回波宽度的幅度减小了很多，但大体的形状保持不变。这时候的总电流 Iz =0.0067 + 0.0028i。3.2 TM 波入射金属椭圆柱的散射对于二维金属椭圆柱体的散射这种情况，由于圆柱体是椭圆柱的特殊情况，所以解题的基本思路基本一样，就是对每个剖分步长用数值积分得到，这样有利于
9、得到精确的计算结果。实践的过程也证明了这一点，当每个剖分步长用两个剖分点的直线距离来近似的话，带来很大的误差，而用数值积分得到的结果和解析解很好地吻合。计算例子是一个 z 方向均匀且无限长的椭圆柱，长轴 ，短轴 ，即金2b2/a属圆柱中心和 z 轴重合，即椭圆方程为 。入射波为 z 方向极化，幅值为 1，从12byax负 x 轴方向垂直 z 轴入射的 TM 平面波，即入射角为 0 度。工作频率为 100MHz，波长米。由于是金属体且 z 方向均匀，可以只考虑对垂直 z 轴截面的椭圆周进行剖分并3计算。图 3（a）(b)给出了 1000 个剖分和 2000 个剖分下的电流密度分布的计算结果，图
10、3(c)给出解析解以作为比较，而图 4(a)(b)给出了上述剖分精度下的回波宽度的计算结果，作为比较图 4(c)给出回波宽度的解析解。其中解析解来自参考书计算电磁场的矩量法 。为了方便与参考书中的解析解比较，x 和 y 轴的参量都相应做了变化。下图中的 x 轴S 为角度的归一化，左端为 S=0,右端为 S=1。Y 轴是 iHJ图 3(a) EFIE 剖分精度 100032b/a图 3(b) EFIE 剖分精度 200032b/a图 3(c) EFIE 剖分精度 270032b/a图 3(d) EFIE 安得列解由上图可见计算结果和参考书提供的解析解能够有很好的吻合，而且随着剖分加细，结果更趋接
11、近于解析解。由于本人机子配置较低，难以对更多剖分点的情况进行运算，但可以预见随着剖分点的增加，计算结果与解析解更好地吻合。但随着剖分数 N 的增大，计算方法所用的近似不能收敛于解析解，这是因为 时的， 在极限时是不正确的。nmmnP证明了计算方法的正确性。也可以看到要是用磁场积分方程（MFIE）可以得到更好的解。下图是回波宽度（散射截面）的方向图，其中 x 轴是角度，y 轴是 。/图 4（a）EFIE 剖分精度 100032b/a图 4(b) EFIE 剖分精度 200032b/a图 4（c）EFIE 回波宽度安得列解比较上图可得，计算结果和解析解几乎完全一致，可以注意到即使电流密度分布显著不
12、同，当这两种情况得到的结果却是几乎完全一致的。这是因为 是电流 J 的连续性/泛函，因此 J 在精确值附近的大小变化是不敏感的。3.3 TE 波入射金属椭圆柱的散射与上面同样条件，把入射波换为 TE 波，理论分析可见前面的 2.2 部分。基于上面的分析，考虑垂直 z 方向入射的横向电波（TE）,离散方程为（21）,编程的基本思路是对(24) 式编程实现，得出Z矩阵，再由(17)式得出H列，用 MATLAB6.5 软件上的线性方程组直接求解法求解出J。散射截面（回波宽度）可以通过（26 ）式离散计算出来。图 5 给出剖分为 720 份时的计算结果，并给出相应的解析解，以资比较。解析解来自参考书计
13、算电磁场的矩量法 。图 5(a) MFIE 剖分精度 72032b/a图 5（b）MFIE 安得列解可见，计算结果与解析解大体上符合，但还是存在较大的差别，原因估计是剖分精度不够，还有数值计算P矩阵时引进了近似，由于时间仓促，没能在离散化方程时考虑更好的近似方法，这有待于进一步的探讨和研究。图 6 是 TE 波入射金属椭圆柱的回波宽度（散射截面）的方向图，其中 x 轴是角度，y轴是 。/可见计算结果和解析解很好地符合，可见虽然电流分布计算结果和所给的解析解有较大的误差，但回波宽度的计算结果和解析解确几乎完全一致，这是因为 是电流 J 的/连续性泛函，因此 J 在精确值附近的大小变化是不敏感的。
14、图 6(a) MFIE 剖分精度 72032b/a图 6（b）MFIE 安得列解4 存在问题和心得存在的问题之一：没考虑到内谐振问题，进一步的工作应该把电场积分方程（EFIE）和磁场积分方程（MFIE）组成联合积分方程（CFIE） ，来解决这个问题。存在的问题之二：使用的软件 MATLAB6.5 虽然功能强大，但是运算效率不高，需要占用的内存大和运行时间较长，而比不上用 C 语言或 FORTRAN 语言编写的程序效率高。没有利用到课本所介绍的快速多极子技术。存在的问题之三：没有实现在 TM 波入射情形下用磁场积分方程（MFIE）计算散射场，而据理论分析，用 MFIE 应该能够得到更好的条件数，计算的结果也能更好地收敛于解析解。这有待于工
