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1、高一综合复习知识巩固点十一1第十一讲 平行关系一、知识梳理：1、直线和平面相互平行（1 ）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；（2 ）一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；2、两平面平行的判定与性质1）判定方法：（1 ）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：ab，a ，b ， a，b，则 。（2 ）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a，a 则 。（3 ）平行于同一个平面的两个平面平行。 /,/2）两个平面平行的性质有五条：（1 ）两个平面平
2、行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行” 。用符号表示是：，a ，则 a。（2 ）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行” 。用符号表示是：，=a，=b，则a b。（3 ）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：，a，则 a。（4 ）夹在两个平行平面间的平行线段相等（5 ）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行注意下面的转化关系：二、基础检测：1垂直于同一条直线的两条直线 DA平行 B相交 C异面 D以上都有可能2已知平面 内
3、有无数条直线都与平面 平行，那么( D )A / B 与 相交 C 与 重合 D /或 与 相交3下列四个说法 ( C ) /a， b,则 /ab aP，b ，则 a与 b不平行 ，则 / / ， / ，则 /其中错误的说法的个数是 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4下列命题中正确的是( C )高一综合复习知识巩固点十一2A经过两条异面直线中的一条且与另一条平行的平面至少有一个B若两条直线在同一平面内的射影平行，则这两条直线也平行C若 a, b是异面直线，则一定存在平面 与 a, b 所成的角相等D与两条异面直线都平行的平面只有一个5若直线 m 不平行于平面 ，且 m，则下列结论成立的是
4、( B )A 内所有直线与 异面 B 内不存在与 m平行的直线C 内存在惟一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交6 设直线 ,m,平面 ,下列条件能得出 的是（C）l|A ,且 B ,且,ml |l ,l |lC ,且 D ,且| |m|7 设平面 ，A ，C 是 AB 的中点，当 A、B 分别在 内运动时，那么所|,有的动点 C （D）A 不共面 B当且仅当 A、B 分别在两条直线上移动时才共面C 当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D 不论 A、B 如何移动，都共面8.下列命题中正确的是（B）过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; 垂直于同一条直线的一条直线
5、和一个平面平行; 若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A B C D 9下列命题正确的个数是（B）若直线 上有无数个点不在平面 内, 则 ; 若直线 与平面 平行, 则 与平l |l ll面 内有任意一条直线都平行; 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; 若直线 与平面 平行, 则 与平面 内的任意一条直l l线都没有公共点.A0 个 B 1 个 C 2 个 D3 个10.下列四个命题：分别在两个平面内的两直线平行；若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；如果一个平面内的两条直线平行于另一个
6、平面，则这两个平面平行;如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（B）A 、 B 、 C 、 D 、11如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM与高一综合复习知识巩固点十一3ED平行； CN与 BE是异面直线； CN与 BM成 60角； D与 BN垂直。以上四个命题中，正确命题的序号是( C )A B C D12夹在两个平行平面间的两条线段 AB、CD 交于点 O，已知 AO=4，BO=2，CD=9，则线段CO、DO 的长分别为_（ 6、3）三、典例导悟：13、 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧菱 PD底面ABCD，
7、PDDC，E 是 PC 的中点( 1 ) 证明：PA平面 EDB；( 2 ) 求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值(1) 证明：提示，连结 AC 交 BD 于点 O，连结 EO(2) 解：作 EFDC 交 DC 于 F，连结 BF设正方形 ABCD 的边长为 a PD底面 ABCD，PDDC EFPD，F 为 DC 的中点 EF底面 ABCD，BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影，EBF 为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角在 Rt BCF 中，BF aCFB252 EF 21PD a， 在 RtEFB 中，tanEBF 5FE所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为
8、 514、 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC3，BC4，AB5，AA 14 ，点 D 是 AB 的中点( 1 ) 求证：ACBC 1；(2) 求证：AC 1 平面 CDB1；(3) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值解：（1）直三棱柱 ABCA 1B1C1，底面三边长AC3， BC4，AB5ACBC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC，ACBC 1；（2 ）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE，D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点，DEAC 1DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1，AC 1平面 CDB1；（3 ） DE AC 1，C
9、ED 为 AC1 与 B1C 所成的角，在CED 中，ED 2AC1 5，CD 2AB 5，CE 2CB12 ，cos CED = 522815 如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N、E、F 分别是棱 A1B1、A 1D1、B 1C1、C 1D1 中点(1) 求证：平面 AMN平面 EFDB；(2) 求异面直线 AM、BD 所成角的余弦值解：(1) 易证 EFB 1D1 MN B1D1 EFMNANBE 又 MNANN EFBEE面 AMN面 EFDB(2) 易证 MNBD AMN 为 AM 与 BD 所成角BADCEPDB11CA1A B CB1C1EFMND1DB1A1A1
10、C1高一综合复习知识巩固点十一4易求得 cosAMN 1016. 如图，在直四棱柱 ABCD-A 1B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E、E 1、F 分别是棱 AD、AA 1、AB 的中点。（1 ） 证明：直线 EE /平面 FCC 1；（2 ） 求二面角 B-FC 1-C 的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱 ABCD-A 1B C D 中，取 A1B1 的中点 F1，连接 A1D，C 1F1，CF 1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD，所以 CD A1F1，A 1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D，=
11、/ 又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 1的中点，所以 EE1/A1D，所以 CF1/EE1，又因为 平面 FCC ， CF平面 FCC ，所以直线 EE /平面 FCC 1.（2 ）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形, 取 CF 的中点 O,则 OBCF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1B C D 中,CC 1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OPC 1F,垂足为 P,连接 BP,则OPB 为二面角 B-FC 1-C的一个平面角, 在BCF 为正三角形中, 3O,在
12、 RtCC 1F 中, OPFCC 1F,1PFC 22, 在 Rt OPF 中, 21432BOP,27cos14OPB,所以二面角 B-FC 1-C 的余弦值为 7.解法二:（1）因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为等腰梯形,所以 BAC=ABC=60,取 AF 的中点 M,连接 DM,则 DMAB,所以 DMCD,EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 OPEA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 高一综合复习知识巩固点十一5以 DM 为 x 轴,DC 为
13、y 轴,DD 1 为 z 轴建立空间直角坐标系 ,则 D（0,0,0 ）,A（ 3,-1,0）,F（ 3,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2 ）,E （ 2,0） ,E1（ ,-1,1）,所以 13(,)2Eur, (3,10)CFur,1(0,)ur1(3,2)Fur设平面 CC1F 的法向量为 (,)nxyzr则 1nr所以3xyz取 (,0)nr,则 13102nEru,所以 Eu,所以直线 EE 1/平面 FCC 1. （2 ） (0,2)FBur,设平面 BFC1 的法向量为 11(,)nxyzur,则 10nFBCru所以13yxz,取 1(2,03)nur,则 1232r ,2|()nr, 1| 7, 所以 112cos,|7nru,由图可知二面角 B-FC 1-C 为锐角,所以二面角 B-FC1-C 的余弦值为 7.
