有限元素法简介

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1、有限元方法的基本思想、特点和步骤有限元法的基本思想可以用下述几点进行说明：& 假想把连续系统(包括杆系，连续体，连续介质)分割成数目有限的单元，单元之间只在数目有限的指定点(称为节点 )处相互连接，构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。在节点上引进等效载荷(或边界条件 )，代替实际作用于系统上的外载荷 (或边界条件)。这一处理称为“结构离散化” 。& 对每个单元由分块近似的思想，按一定的规则( 由力学关系或选择一个简单函数)建立求解未知量与节点相互作用(力 )之间的关系(力位移、热量温度、电压 电流等) 。这一处理称为“单元分析” 。 & 把所有单元的这种特性关系按一定的条件(变形协调条件、

2、连续条件或变分原理及能量原理)集合起来，引入边界条件，构成一组以节点变量( 位移、温度、电压等 )为未知量的代数方程组,求解之得到有限个节点处的待求变量。这一处理称为“整体分析” 。所以，有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续系统，理想化处理为只有有限个自由度的单元集合体，使问题转化为适合于数值求解的结构型问题有限元法具有下述特点： 概念清楚，容易理解。可以在不同的水平上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲，每个人的理论基础不同，理解的深度也可以不同，既可以通过直观的物理意义来学习，也可以从严格的力学概念和数学概念推导。 适应性强，应用范围广泛。有限元法可以用来求解工程中许多复杂的问题，特

3、别是采用其他数值计算方法(如有限差分法 )求解困难的问题。如复杂结构形状问题，复杂边界条件问题，非均质、非线性材料问题，动力学问题等。目前，有限元法在理论上和应用上还在不断发展，今后将更加完善和使用范围更加广泛。 有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用高速数字计算机的优势。由于有限元法计算过程的规范化，目前在国内外有许多通用程序，可以直接套用，非常方便。著名的有 SAP 系列，ADINA，ANSYS，ASKA ，NASTRAN ，MARK ，ABAQUS 等。 有限元法的主要缺点是解决工程问题必须首先编制( 或具有)计算机程序，必须运用计算机求解。另外，有限元计算前的数据准

4、备、计算结果的数据整理工作量相当大。然而，在计算机日益普及的今天，使用计算机已不再困难。对于后一缺点可通过用计算机进行有限元分析的前、后处理来部分或全部地解决。特别是现在已经有许多商业软件可供使用，这个问题已不成为问题。 有两种通常与有限元方法相关的方法。一种方法叫做力法或柔度法，用内力作为问题的未知量。第二种方法叫做位移法或刚度法，假定节点位移作为问题的未知量。这两种方法在分析中得出不同的未知量(力或位移 )，并得出与其公式相关的不同矩阵 (柔度矩阵或刚度矩阵)。由于位移法的公式对于大多数结构分析问题比较简单，因此对于计算机求解，位移法(或刚度法) 更符合要求，大多数有限元分析以位移为未知量

5、。此外，绝大多数的通用有限元程序编入了求解结构问题的位移公式。因此，这里只介绍位移法。一般来讲，有限元法包括下列三个主要步骤：结 单 整下面是对它们的较为详细的说明： 结构离散化 结构离散化即是常说的划分单元，这一步骤涉及将物体划分为具有相关节点的等价系统，选择最适当的单元类型来最接近地模拟实际的物理性能。所用的单元总数和给定物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的主要问题。单元必须小到可以给出有用的结果，又不能过小以节省计算费用。计算结果会有剧烈变化，如几何形状改变的地方需要小单元(可能的话用高阶单元)，结果变化小的地方可以用大单元。 在有限元分析中，单元类型的选择取决于实际受载条件下物体

6、的物理构成，也取决于分析人员所期望的对实际行为的近似程度。必须判断选择一维、二维或三维进行理想化是否适当。此外，对于特定的问题选择最适当的单元是设计人员和分析人员要进行的主要任务之一。常用的单元有线单元（如杆单元和梁单元） 、面单元（如三角形单元和四边形单元）和体单元（如四面体单元和六面体单元） ，根据单元形状不同又有多种单元类型，例如对于面单元来讲，有三角形单元、矩形单元、四边单元，矩形单元中又分四节点矩形单元和八节点矩形单元等。还有一些特殊单元：弹簧单元、壳单元等。 单元分析有限元法一般以节点位移作为基本未知量。单元分析主要针对一个单元，由单元节点位移来求内部任一点的位移。由节点位移求单元

7、应变，应力和节点力，最终建立单元节点力的力和位移的关系，即建立单元刚度方程。单元分析的步骤可用框图表示为（以应力分析为例） 节 单 单 单 节单在上述步骤中 （）节点位移和单元内部各点位移的关系是靠形函数的概念建立的： 形函数（位移函数）是用单元的节点值在单元内部定义的。线性、二次和三次多项式是常常使用的形函数，因为用它们建立有限元公式比较简单。对于二维单元，形函数是其平面坐标的函数。每个单元可重复使用同一个通用的形函数。因此有限元方法是这样一种方法：一个连续量，如整个物体内的位移，用一个离散的模型来近似，而此离散模型是由每个有限域或有限单元内定义的分片连续函数组成的。 ()节点位移和单元应变

8、的关系是通过几何关系来建立的，比如说，在一维变形和小应变的情况下，x 方向的应变 x 和位移 u 的关系为： 。xu()单元应力和应变关系是物理关系，应力和应变必须通过应力应变关系（通常叫做本构关系）联系起来。在获取可接受的结果时，精确定义材料行为的能力是最重要的。最简单的应力/应变定律是虎克定律，通常用于应变分析中，其表达式为： ，其中， xE为 x 方向的应力， E 为弹性模量。 （ ）单元应力和节点力关系是平衡关系，即力的平衡。采用的方法有直接平衡法，根据这种方法，联系节点力和节点位移的刚度矩阵和单元方程是通过基本单元的力平衡条件和力与位移的关系得出的。这种方法最适合于线单元或一维单元；

9、功和能量法，用功或能量法容易建立二维和三维单元的刚度矩阵与方程。虚功原理(利用虚拟位移) 、最小势能原理和 Casotigliano 理论常常用来推导单元方程；加权残余法，加权残余法在推导单元方程时是很有用的，特别有名的是伽辽金法。这些方法在能量法可以应用的场合得出和能量法同样的结果。当泛函(如势能)不容易得到时，这些方法就特别有用。加权残余法使有限元方法能直接用于任何微分方程。 使用刚才概括的任何一种方法将得出描述单元特性的方程。这些方程可方便地写为矩阵形式： （2-1）或写成精练的矩阵形式： (2-2)fkd其中f 是单元节点力矢量，k是单元刚度矩阵，d 是单元未知节点自由度或广义位移矢量

10、。广义位移可以包括实际位移、斜度，甚至曲率等。 整体分析 整体分析是将各单元拼合成离散的结构物体，以代替原来的连续弹性体。 整体分析包括下列主要四个步骤，可用框图表示为建 引 解 求上面的建立整体刚度关系矩阵是将各个单元的刚度矩阵按节点编号进行整体组装；引入边界条件是指在节点位移列阵和节点力列阵中引入各有的位移边界条件和力边界条件。可以使用叠加法(称为直接刚度法，其理论基础为节点力平衡) 将第 2 步得出的单个单元方程加在一起得出整个结构的总体方程。最后组装的总体方程写为矩阵形式：(2-3) FKd其中F是整体节点力矢量，K是结构总体刚度矩阵，d是已知和未知结构节点自由度或广义位移。可以看出总体刚度矩阵K是一个奇异矩阵，因为它的行列式等于零。为了去掉此奇异性问题，必须利用某些边界条件(或约束，或支撑) ，使结构固定，不能作为一个刚体移动。 方程(2-3) 在修改考虑了边界条件之后，形成一组联立代数方程组，用消元法(如高斯消元法)或迭代法(如 Causs-Seidel 迭代法)求解此方程，获得节点自由度或广义位移值，并通过应变和位移关系及应力应变关系，求得应力和应变的结果。 最后要说明的是：目前许多大型有限元程序已得到广泛应用。对于大多数工程问题来讲，不需要再自己编写程序，只需要能够使用这些通用软件即可。