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1、例析求函数值域的方法函数的值域是函数三要素之一，求函数的值域是深入学习函数的基础，它常涉及多种知识的综合应用，下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。一、直接法：（从自变量 的范围出发，推出 的取值范围）x()yfx例 1求函数 的值域。2y解：因为 ，所以 ，0xx所以函数 的值域为 。y,二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如 的函数的值域问题，均2()()Fxafbfxc可使用配方法）例 2求函数 （ ）的值域。24yx1,x解： ， 22()6因为 ，所以 ，所以1,x3,x2()9x所以 ，即23()55y所以函数 （ ）的值域为 。4yx1,x3,5三、分离常数法（分子、分母是一
2、次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例 4求函数 的值域。125yx解：因为 ，7()125x所以 ，所以 ，7205x1y所以函数 的值域为 。1y|2四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如 （ 、 、 、 均为常数，且 ）的函数常用此法求解。axbcdabcd0a例 4求函数 的值域。21yx解：令 （ ） ，则 ，t0t2tx所以 2215()4ytt因为当 ，即 时， ，无最小值。138xmaxy所以函数 的值域为 。2y(,五、判别式法：把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式 ，从而x(
3、,)0Fxy0求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。2112abcya2（解析式中含有分式和根式。 ）例 1. 求函数 2x1y的值域。解：原函数化为关于 x 的一元二次方程0)()(2（1）当 y时， R0)1(4)(2解得：3y（2）当 y=1 时， 0x，而 23,1故函数的值域为 23,1六、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数 的值域（ 时为减函数； 时为增函数） ）0kxykxkx例 5求函数 的值域。12解：因为当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，x12x所以函数 在定义域
4、 上是增函数。yx(,2所以 ，所以函数 的值域为 。1121yx1(,2七、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域 )例 6 求函数 的值域。21xy解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 ，对函数进行变形可得R，2(1)()yxy因为 ，所以 （ ， ） ，21x1y所以 ，所以 ，10yy所以函数 的值域为21x|1八、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例 7求函数 的值域。xy解： ， ， 1x1,2,x图像如右图所示，故原函数的值域为 除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于 的二次方程 ，通过方程有实x0,yxF根， ，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法） ，在今后的学习中，会具体讲0述。yxo21-1
