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1、在运用基本不等式求最值时务必注意三点：一正、二定、三相等。具体地说，首先要求字母或代数式的取值为正，其次是欲求和的最小值必须凑出积的定值，欲求积的最大值必须凑出和的定值，再其次就是当式子取到最值时，不等式中的等号确能成立。基于这三方面的原因，在运用基本不等式求最值之前，一般要对题设式子进行变形。在变形中，常常需要用到一些技巧，这就是本文所要说明的问题。一、不满足“一正”条件类问题的处理例 1. 当 时，求 的最大值。解： ，故当且仅当 ，即时，所求的最大值为2。例 2. 当 的最小值。分析：由于 一正一负，故不可用极值定理，用函数单调性来处理。解：设 ，则因 ，从而 f(x)为增函数，故所求的
2、最小值为 0。二、不满足“二定”条件类问题的处理1. 求和的最值，积不为定值例 3. 已知 的最大值。分析：要积为定值，必须要去掉分母中的 ，故须拆整式中的。解：故所求的最大值为 3。例 4. 已知 的最小值。分析：转化成积为定值再用定理。解： ，故最小值为 4。例 5. 已知 。分析：合理变形，挖掘定值关系解：，当且仅当 时取到最小值 。2. 求积的最值，和不为定值例 6. 已知 ，求 的最大值。分析：因和的定值关系为一次式，故设法化积的关系为几个一次式的积。，故最大值为 。三、不满足“三相等”条件类问题的处理例 7. 求 的最小值。分析：若用极值定理，因当且仅当 即 时取到最小值，而，取不
3、到 ，故不可用极值定理。解：令 ，设故函数 f（x）为减函数。故 。点拨： 类最值问题，如不满足极值定理条件，常用函数单调性来处理。四、最值问题的其它处理方法例 8. 若 求函数 的最值。分析 1：转化为极值问题来处理。解法 1：（1）若 ，则因 时有 ，（2）若 ，所以 。故原函数的最大值为 ，最小值为 。分析 2：函数问题转化为方程问题求解。解法 2：由得若 ，方程有实根的条件是因为 ，而 也在上述范围内。故原函数的最大值为 最小值为 。例 9. 求 。分析：这是一个高次函数，用常规方法无法解决，故用导数的知识来处理。解：令。故所求函数最大值为 3，最小值为 8。例 10. 已知 ， ，求证：。分析：观察所证式特点，联想到用数形结合求解。证明：设 P（x，y），O（0，0 ），A（0，1），B（1，0），C （1，1 ），则不等式左边表示|OP|AP|BP|CP| ，其中 P（x，y）是以 1 为边长的正方形内部的任一点，故 。
