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1、高三第一轮复习学案-立体几何 北大附中广州实验学校 王 生E-mail: 第 1 页 （共 9 页）MABDCO历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲1.(2008 海南、宁夏理)如图，已知点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1的对角线 BD1上，PDA=60。（1）求 DP 与 CC1 所成角的大小；（2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。2.（2008 安徽文）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的 菱形， , OABCD 4ABC, , 为 的中点。OABCD底2M（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。B1C1D
2、1A1CDA BP高三第一轮复习学案-立体几何 北大附中广州实验学校 王 生E-mail: 第 2 页 （共 9 页）3.（2005 湖南文、理）如图 1，已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将3它沿对称轴 OO1 折成直二面角，如图 2。（）证明：ACBO 1； （）求二面角 OACO 1的大小。4.（2007 安徽文、理)如图,在六面体 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形1DCBA是边长为 1 的正方形, 平面 , 平面 ABCD，DD 1=2。1DCBA1D1()求证: 与 AC 共面， 与 BD 共面. B()求证:平面 ;平 面()
3、求二面角 的大小.C1A BCDOO1ABOCO1D高三第一轮复习学案-立体几何 北大附中广州实验学校 王 生E-mail: 第 3 页 （共 9 页）5.(2007 海南、宁夏理)如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，SABCSAC， 为 中点 （）证明： 平面90BACOBO；（）求二面角 的余弦值S6.(2007 四川理）如图， 是直角梯形， 90， ， 1， 2，PCBMPCBMBCPB又 1， 120， ，直线 与直线 所成的角为 60. ACAA（）求证：平面 平面 ; （）求二面角 的大小;A（）求三棱锥 的体积.OSBAC高三第一轮复习学案-立体几何 北大附中广州
4、实验学校 王 生E-mail: 第 4 页 （共 9 页）7.(2006 全国卷文、理)如图， 、 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点 A、B 在 上，1l2 1lC 在 上， 。 （）证明 ACNB；2lAMBN()若 ，求 与平面 ABC 所成角的余弦值。60O8.（2006 福建文、理）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDABD（I）求证： 平面 BCD； （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；O（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。CADBOEABMNCl2l1 H高三第一轮复习学案-立体几何 北大附中广州实
5、验学校 王 生E-mail: 第 5 页 （共 9 页）x yzMABDCOP历届高考中的“空间向量与立体几何”试题选讲(参考答案)1解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 DADxyz则 ， 连结 ， 0Aur， ， (01)Cur， ， BD在平面 中，延长 交 于 设 ，BPH(1)(0mur， ，由已知 ，由6Ho， cosAHr urg，可得 解得 ，所以 21m2m2r， ，（）因为 ，01cos 2DCur，所以 即 与 所成的角为 45Ho， P45o（）平面 的一个法向量是 A()ur， ，因为 ，2010cos 2ur，所以 6DCo，可得 与平面 所成的角为
6、 PA3o2解：作 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 轴建立坐标系,xyz,22(0,)(1,0)(),(,0),()(01)BDO(1)设 与 所成的角为 ,AM(,)(,1)2urur, cos,3BDgr 与 所成角的大小为 A(2) 22(0,),(,)OPurur设平面 OCD 的法向量为 ,则 nxyz0,nOPDurrg即 取 ,解得220yzx2(,42)设点 B 到平面 OCD 的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,dBur(0,)n, .(1,0)Our 3Onr所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2A BCDPxyzH高三第一轮复习学案-立体
7、几何 北大附中广州实验学校 王 生E-mail: 第 6 页 （共 9 页）3解:（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1. 所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 故可以 O 为原点， OA、OB、OO 1所在直线分别为 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，x如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0） ，B（0，3，0） ，C（0，1， ）,O 1（0，0， ）. 3从而 ，),(),(BA所以 ACBO 1. .1（II）解：因为 所以 BO1 OC，,3O由（I）ACBO 1，所以 BO1平面 OAC， 是平面 OAC 的一个法向量.BO设 是 0 平面
8、O1AC 的一个法向量，),(zyxn由 得 . ,3.,01 zzyxCA取 )3,0(n设二面角 OACO1 的大小为 ，由 、 的方向可知 ， ，n11BO所以 cos ， =cosnB.4|14.解（向量法）：以 D 为原点，以 DA,DC, 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D如图，则有 A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，C （0，2，0） ，xyz).,(),1(),(),201(1CBA（）证明： ,Q),02(),1(1DB.,11平 行 ，与平 行 ，与 D于是 与 AC 共面， 与 BD 共面.（）证明： ，） ，（）， （ 0201AC，） ，
9、（）， （ 2B.1，内的两条相交直线，是 平 面与 1D又平面.平 面，过 AC1.1BDAC平 面平 面（）解： .21022011 ）， （） ， （） ， （ 设 的 法 向 量 ，为 平 面),(zyxn ,1 zyxn于是 ).,0(,11则取设 的 法 向 量 ，为 平 面2)(BCzm.02,12zmzyxB于是 ).,(,0则取 .51cosn高三第一轮复习学案-立体几何 北大附中广州实验学校 王 生E-mail: 第 7 页 （共 9 页）.511的 余 弦 为二 面 角 CBA5证明：（）由题设 ，连结 ，S=AO为等腰直角三角形，所以 ，C 2BCS且 ，AOB又 为
10、等腰三角形，故 ，且 ，S SO2S从而 所以 为直角三角形，22A又 ABI所以 平面 SOC（）解：以 为坐标原点，射线 分别为 轴、 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标BA底xy系 设 ，则 xyz(10)底(10)()(01)S的中点 ， 2M (10)22OMCururur底SCAurr底 故 等于二面角 的平,OSAr0). 2 =(0,1, ), HN 2=(0,1, ). = 12=0, = ,MC 2 HN MC 13H(0, , ), 可得 =(0, , ), 连结 BH,则 =(1, , ),13 23 HN 23 23 BH 13 23 =0+ =0, , 又 MCBH
11、=H,HN平面 ABC,HN BH 29 29 HN BH NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角.又 =(1,1,0),BN cosNBH= = = BH BN |BH |BN |43232 63ABM NCl2l1 Hxyz高三第一轮复习学案-立体几何 北大附中广州实验学校 王 生E-mail: 第 9 页 （共 9 页）8 (1)证明：连结 OC.BO=DO,AB=AD, AOBD.BO=DO,BC=CD, COBD.在AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= .而 AC=2,3AO 2+CO2=AC2,AOC=90,即 AOOC.,0OCBDIQAO 平面 BCD.（）解：以 O
12、 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0) ， D(-1，0，0)，C(0， ，0)，A(0,0,1), E( , ,0),3213).),1( ,4cosCB异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 .42arcos（）解法一：设平面 ACD 的法向量为 n=(x,y,z),则,0)1,3(),(zyxACnD.03,zyx令 y=1，得 n=(- )是平面 ACD 的一个法向量.又 ),023,1(EC点 E 到平面 ACD 的距离 h= .72|nEC（）解法二：设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.,CDAVQ SACD = AOSCDE .h3131在ACD 中，CA=CD =2,AD= ,2S ACD = 而 AO=1, SCDE =,723 ,23421h= ,721ACDEO点 E 到平面 ACD 的距离为 .
