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1、1第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为 ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类0r氢原子基态能量的一级修正。解: 这种分布只对 的区域有影响, 对 的区域无影响. 根据题意知0r0HUr其中 是不考虑这种效应的势能分布, 即0Ur 2004zer为考虑这种效应后的势能分布, 在 的区域为r 20zeUrr在 的区域, 可由下式0rUrreEd其中电场为 3023000 02014,4ZZrrEer则有: 00002232222 20 003 3014488rrrrUedEZZedeerrr因此有微扰哈密顿量为 220 0301s sZerZerHUr其中 04se类氢
2、原子基态的一级波函数为 032100 00exp44ZraRY按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为20 0*113 22 220001sin4Zrr assEHdZeerd dar0 0032222 4304rZrZraasZeedd 完成上面的积分,需要作作三个形如 的积分,用分部积分法,得0bmy00 0 0222 2 20 001ZrZraayZr Zra aededaeZ0 0002 222330 02 3220002Zr ZrZraa ayZra rededar 00 022544250 000040002241422ZrZraa yZraededrZrrZraa 00 232
3、5340 00253443000012 raZrar eaar eZZ 我们可以计算 ,1E0 0032 3212 2000 2534432000 0324ras ZraZraeeraareZe 00222 20 023 33Zras saZer r 但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为 , 而 .所以有13cm801cmZ35213510820rarea于是 0222232 21 520 0003 3 3004 415rssss sa sZeZZerZerrErdrera a 这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为 222222000011 3 04115
4、55sss serereZra a5.2 转动惯量为 ，电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场 中，如果电场较小，用微扰IDE法求转子基态能量的一级修正。解: 自由空间转子的能级和波函数为 2001l llmEYIh对于基态 004我们选外加电场 的方向沿球极坐标的极轴方向(即 轴的正向), 则微扰哈密顿算符为zcosHDE据此我们求出有用的矩阵元(对基态) * *00*110 433cosllmlml lHYYdYdDEE上面用到 及球谐函数的正交性cs410 *lmlmYd从上面的计算式可见,微扰矩阵元只有，103DHE其余为零.故 10即基态能级的一级修正为零.基态能量的二级修正为 222
5、210020 3 1ll DHIEEIhE5.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级: 及 ,现在受到微扰 的作用,微扰矩阵012H元为 ; , 都是实数.用微扰公式求能量的二级修正值.1212,Hbab解: 哈密顿矩阵为: 0101022EaEbaH4微扰哈密顿矩阵元为: 1212,HbHa代入能量的二级近似公式 200nmnnEE则 2 201 20 01 1aabbE即 2 210 2001 01EE5.4 设在 时,氢原子处于基态,以后由于受到单色光的照射而电离.设单色光的电场近似t地以平面波表示为 , 及 均为常量;电离后电子的波函数近似地以平面波表示.求这单sint色光的最小频率和
6、在时刻 跃迁电离态的几率.解: (1)当电离后的电子动能为零时,这时对应的单色光的频率最小 ,其值为4mini124i32ssehEeh(2) 时, 氢原子处于基态0t 003210 30114rraakRYee在 时刻, 处于电离态t 32primeh微扰 sinititititeHteeFrrE其中 2reiE在 时刻跃迁到电离态的几率为t 0111mkkmkmkkkmtittititkititkWatHediFdeeh对于吸收跃迁情况,上式起主要作用的第二项,故不考虑第一项,522 222222211mkmkmkmk mkmkmk mkmkitmititkkit ititit ititk
7、FeateeWtFee hh22222222222244sinmkmkmkmkmkmkmkmkititititkititititk kmkmkkeeeFth其中 00*332320111prpr ri amkk ri aeFdediedia hhhE取电子电离后的动量方向为 方向,取 , 所在平面为 面, 则有ZExozsincoi scrxyzrr pzryxOE题 5.4 图6 0 00320320cos2 2302cos3201incos1 sinincosisriamk ri arpri aprieFeda edre diai hhhhhhprprEEE 0000 220 0cos 2
8、2302cos3302 cos3320 si1 inci1sirarpri arpri arpriaeddeia edieedia hhhhhE00cos330 230 ncos in2rprirprrprraii iiedie deei hhhhE32033 320 02 72003 30cos16cos16cscs28aepiaii ipepeapahhEE所以 2 2275202 62sin sin41comk mkmkk k kt tFpeWahhE5.5 基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即 0when0t tteE求经过长时间后氢原子处在 态的几率.p2
9、解: 设电场 沿 方向,则微扰哈密顿为Ez00 cost tHezerer按照微扰论,由状态 跃迁到状态 的几率决定于kn2na7而 01nktitnaHedih因此,要求得 ,必须先算出 .natk现在初态为氢原子基态(即 1S 态)而 010031raRYe而终态是简并的,有三个态.即 022101003cos43rae0322110in8raiRYe0322110siraie因而有 0*21010210, 3 30210032240058450cos1133razrdRYRrdea !及 均为零,这是因为对 的积分为零.21,0z21z 由此可见,这样的电场作用下,跃迁只发生在从基态(1
10、S) 到 态 ,跃迁几率210,10nlm为 210a而: 2121 2121 218800205588 80 00 215 55333t tt itit itit tt iteaaeeddi eai hhhEE当 , t21limitte所以,长时间后 802105213eaihE所以 2100221eh5.6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率.解: 从 到 的每秒自发跃迁几率,由公式nk8322223344ssnknknk nkknkeeEAxyzcchhr关键在于求矩阵元 .我们的初态是第一激发态,有一个单态势 2S 态 和三重态 2P,kkxyz 20态 . 由选择定则 ,
11、知 是禁戒的, 故只需要计算 的几率.21021,1l2S1PS(1) 计算矩阵元 nk注: ,3210100210, cos3JzRrdYd103cos4Y04Y其中 033223 4210005 750004 4401822!43331raJrdedaa 而 *101021,cosJzJYdYd,03所以 10221zJa(2) 计算矩阵元 nkx考虑到 sicosi2iirre及 110331in884i iYeYY和球谐函数的正交性. *100210, 1*01si83024iixJedYJd*1021,0*11sin82343iixeJJYd*1021,0*11sin82343iixeJJYd所以 22211,0,0xxJ(3) 计算矩阵元 nky9考虑到 与上面相仿,计算得sinsin2iiryre210, 1,021,0233JJyyii所以 3yJ所以 152222,11093xyzJar(4) 求 将2nkpsA, 其中4422112208ssseeEahh20seh及 代入一开始写出的那个公式,得21r 3
