函数三要素与最值问题

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1、1函数的解析式、定义域、值域与最值问题函数三要素：解析式、定义域和值域1、 函数解析式把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式。它是用一个等式表示定义域与值域之间的一种对应关系，与所取的字母无关，如 与 为同一函数。231yx23yt注意 表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。函数解析式的求法常用方法有：代入法；待定系数法；换元法或配方法；方程组法；赋值法 代入法例：已知 ，则 。2()1fx22()()1fxx 待定系数法已知函数的类型，求解析式时，可根据类型设解析式，由已知条件求出待定系数。例：已知二次函数满足 求 。2(31)965,fxx(

2、)f例 设二次函数 满足 且图象在 y 轴上的截距为 1，被 x 轴截)f()f得的线段长为 ，求 的解析式。2(x练习题：1、 设二次函数 满足 且 的两实根平方和为，图象()f(2)(),ffx(0f经过点（，） ，求 的解析式。x2、 已知 ，求一次函数 的解析式。()43fx()fx3、 已知 为一次函数， ，且 ，求 解析式。()2gx23gx()fx4、 已知 为二次函数，其图象过原点，且 ，求 的解析式。()fx(1),)5ff()f5、 已知函数 ，求 。213xx6、 已知函数 （ 为常数） ，且方程 有两个实根为()fab, ()120fx。求函数 的解析式。123,4x(

3、)fx27、 已知二次函数 的图象以原点为顶点且过点 ，反比例函数 的图1()yfx(1,)2()yfx象与直线 的两个交点间距离为 8， 。求 的解析式。2()fxfxf 配凑法或换元法配凑法：已知 的解析式，要求 时，可从 的解析式中拼凑出()fgx()f()fg，即用 来表示，再将解析式两边的 用 代替即可。()gx) gx换元法：令 ，再求出 的解析式，然后用 代替 两边所(tx()ft ()(fxF有的 即可。t注意 无论是配凑法还是换元法，所求函数的定义域必须满足两个条件是函数的值域且使 的解析式有意义。()tgx()fx例 已知 ，求 。211()fx例 已知 求2(),fx.练

4、习题：1、求函数解析式：（1） （2）1();fx21()fx2、已知 ，求 。2()fx23、已知 ，则 的解析式可取为（） 。21f()fx、 、 、 、2x22121x4、已知 ，求 。21()fxx()f5、已知 ，求 。ff方程组法已知 与 满足的关系式，要求 时，可用 代替两边所有的 ，()fx()fg()fx()xx得到关于 及 的方程组，解之即可得出 。例 函数 满足 求()1,)fx2()lg(1).fxx(.f3练习题：1、 已知 ，求 。1()232fxfx()fx2、 已知 ，求 。(03、求函数解析式： 满足关系式)fx1()23fxfx4、已知 ，求 。55(4f5

5、、已知 求21)(,0,),axbcxabRab(.fx赋值法将变量取特殊值，找出一般规律，求解析式。方程组法实质上是一种特殊的赋值法。这种方法常常运用在求抽象函数的解析式中。例若 是定义在 R 上的函数，且 ，并且对于任意的实数 总有()fx(0)1f,xy，求 的解析式。()21)2yfxyx解：令 ，则有0,x()2()fx241x练习题：1、设 是定义在实数集 R 上的函数，满足 ，且对任意实数 有()f (0)1f,ab求 。(21).fabab(fx2、若函数 的定义域为 ，且 ，求()fxN)(),(1)yfxyf。()fx2、 函数定义域定义域是自变量 的取值范围，它是函数的一

6、个不可缺少的组成部分，如未加特别说x明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数 的集合，当函数是由实际问x题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。求函数定义域的主要依据是：分式的分母不得为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数函数的真数必须大于零；指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于；三角函数中的正切函数余切函数tan(,),2yxRkZ且 cot(,).yxRkZ注意：（1）定义域是一个集合，必须用集合或区间来表示。（2）由函数的解析式有意义来求定义域时，不能对解析式进行变形。对于无解析式的函数的定义域问题，要注意如下几点：4 的定义域为 ，指的是 的取值

7、范围 ，而不是 的范围为()fgx,abx,ab()gx，如 的定义域为， ，指的是 中的 的范围是 。,ab31(31)fx12 与 联系的纽带是 与 的值域相同。()fx()fh()gh例 1 求下列各函数的定义域：（1） （2）2lg(|);yx25lgcos.yx例 2 若函数的 的定义域是-1，1 ，求 的定义域。()f 2(l)f练习题：1、函数 的定义域是_，2()34fxx函数 的定义域是_，2f函数 的定义域是_，4()3xf函数 的定义域是_，12()(8)f x函数 的定义域是_，1lg4sinx函数 的定义域为_，3(21)logxf函数 的定义域为_。2、函数 的定义

8、域是（）ln(1)xy、 、|1x、 、|1x|3、函数 的定义域是_。0()f4、设 和 的定义域依次为和，则()fx21212()log(6)xx（）RMCN5、 、 （，）、 、12,312(,)312(,)35、若函数 的定义域是 ，求 的定义域。()yfx,yfx逆向思维：已知函数的定义域，求其参数的取值范围。例 函数 的定义域是 R，求实数 k 的取值范围。269k解析：为了保证根号下面的式子恒大于或等于零，则 ，也可2690xk以说不等式 的解集是 R，当 时， ；当 时，20kx0kR，故 。361,kx1练习题：1、当 k 为何值时，函数 的定义域为全体实数。273y2、已知

9、函数 的定义域为，求实数 m 的取值范围。()68fxmx3、若函数 的定义域是一切实数，求 的取值范围。21yaa4、已知函数 的定义域为，求实数 m 的取值范围2lg(43)x5、已知函数 的定义域为 R,求实数 的取值范围。1)(1yaxa利用分类讨论的思想，求含有参数的解析式的定义域。例设函数 的定义域为， ，求函数()yfx的定义域()0Fxfaa解由 即，011ax。x，Q,（）当 时，即 时，1a2;x（）当 时，即 时，11a当 时， 的定义域为 。02()Fx,练习题：1、已知函数 的定义域是 ，且 ，求下列各函数的定义域：()f,ab06（1） （2） ； （3）();fx

10、()().gxfx()31)()Fxffx2、已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。0,1gfag03、已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。()fx|2x()()xff3、 函数值域与最值函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域。下面为常见函数的值域：一次函数 的值域为 R(0)ykxb二次函数 当 时值域是2,ac0a24,);acb当 时值域为 ；2(,反比例函数 的值域为 ；(0)kyx|0yR指数函数 且 的值域为 ；a1|对数函数 且 的值域为。log(y)a正、余弦函数的值域为， ，正、余切函数的值域为。求函数最值的常见方法和求函数值

11、域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的。如函数 的值域是 ，最大值是，无最小值。再如函数24xy(0,16的值域 但此函数无最大值，和最小值，只有在改变1(0)x2).函数定义域后，如 时，函数的最小值为，可见定义域对函数的值域或最值的影响。x练习题：1、值域为 的函数是( )0,)A. B. C. D. 21yx1(3xy123xy2logyx72、函数 的值域是 ,则 与 的大()0,)xfaR()|0()1fxf(2)f(1f小是( )A. B. C. D. 无法确定的(1ff(2)1f

12、f(2)ff3、若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数” ，那么函数解析式为 ，值域为 的“同族函数”共有()sinfx13,2（ ）A. 2 个 B. 4 个 C. 有限多个 D. 无穷多个常见求值域的方法： 观察法；换元法；判别式法；配方法；反表示法（反函数法） ；数形结合与重要不等式法；利用函数的有界性；单调性。 观察法如求函数 的值域时，由 及 知 ，24yx20x240x240,x故所求的值域为 。0,求函数 的值域。21()xf 换元法运用代数式或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 均为常数，且 的函数常

13、用此法求yaxbcd(ab、 、 c、 0)a解。用换元法时要注意两点：“新元”的取值范围，即换元前后的等价性，如例（1）中 ，而不是12tx看解析式 有意义的取值范围。确定“新元”的取值范围，其实质是求21yt值域 。0tx换元后的可操作性。如例（2）中，由 令 ， ，其290x3,x3cos中 可取 R，也可取 还可取 ，都能保证 ，即保证换元前后,2.,的等价性。但 ，若 取 R 或 内的值，将29cosinx0,2.无法直接去掉绝对值符号，故取 较为合理。0,8例 求下列各函数的最值。（1） ； （2）21yx 249.yxx解 （1） （换元法）令 (0)txt（2） （用三角换元法）令 3cos,练习题：1、 函数 的值域是_；12yx函数 的值域是_；函数 的值域是_；2yx函数 的值域是_;531函数 的值域是_；yx函数 的值域是_；243、已知 ,求 的最值。2xy3xy4、函数 ，其中 ，求函数 的值域。()12()fg34(),89gx()fx判别式法把函数转化成关于 的二次方程 ，通过方程有实根，判别式 ，从而x(,)0Fy0求得原函数的值域，形如 不同时为零 的值域常用此法求解。2112,abxcya)注意函数的定义域应为 R；分子、分母没有公因式；要注意二次方程中二次项的系数，只有二次项系数非零时，才