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1、专题一 函数概论 1专题一 函数概论考试大纲要求：2集合、简易逻辑 考试内容：集合子集补集交集并集逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念了解空集和全集的意义了解属于、包含、相等关系的意义掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合（2）理解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义理解四种命题及其相互关系掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义3函数 考试内容：映射函数函数的单调性奇偶性反函数互为反函数的函数图像间的关系指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数对数对数的运算性质对数函数函数的应用考试要求：（1）了解映射的概念，理
2、解函数的概念（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 一 集合与映射（一）集合的概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。（二）集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性（三）集合的运算：1.交
3、集：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集。记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB2.并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB3.全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。4.补集：A 是 U 的子集，由全集 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做 U 中子集A 的补集（或余集）。专题一 函数概论 2特别强调：做题时千万别忘空集！（四）映射的概念：一般地，
4、设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：AB”。（五）经典例题：1.已知集合 ，若 ，求实数 的2 2,13,1aa3ABIa值。2设 ,其中 ,如果22240,()0AxBxxaxR，求实数 的取值范围。BIa二 函数的概念、分类（一）函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合
5、 A 到集合B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域（二）函数三要素：定义域、对应关系和值域（三）函数定义域的要求：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（
6、四）函数的分类（高中阶段所接触到的函数）：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）导数（5）反函数（6）三角函数(7)复合函数（五）经典例题：1. 解析式（1）已知 ，则 的解析式为（ ）21()xf()fx专题一 函数概论 3A B 21x21xC D(2) 若函数 ，则 = f)(2)3(f2求下列函数的定义域（1） （2）83yxx122xy3求下列函数的值域（1） （2） （3）x4452xy xy2三 函数的性质（一）函数的奇偶性定义：1.偶函数：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数2.奇函数一般地，对于函数
7、f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（二）函数单调性定义：1.增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.2.减函数如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.（三）函数周期性定义：对 于 函 数 y=f（ x）
8、， 假 如 存 在 一 个 不 为 零 的 常 数 T， 使 得 当 x 取 定 义 域 内 的 每 一个 值 时 ， f（ x+T） =f（ x） 都 成 立 ， 那 么 就 把 函 数 y=f（ x） 叫 做 周 期 函 数 ， 不 为 零 的常 数 T 叫 做 这 个 函 数 的 周 期 。（ 四 ） 经 典 例 题1已知函数 的定义域为 ，且对任意 ，都有 ，()yfR,abR()()fabfb且当 时， 恒成立。证明：0x0x（1）函数 是奇函数；()yf（2）函数 是 上的减函数。xR专题一 函数概论 42设函数 与 的定义域是 且 , 是偶函数, 是奇函数,且 ,()fxgxR1
9、()fx()gx1()fxg求 和 的解析式.f四 高考真题再现（见 P4P9）五 课后反思函数是整个高中数学的基础，对于这部分的考试，高考的考试大纲要求很高。必须做到概念清晰记忆、灵活运用。2012 年高考文科数学函数部分一、选择题1 （2012 年高考 （重庆文） ）设函数 2()43,()2,xfxg集合|()0,MxRfgx|,NxRg则 MNI为 （）A (,)B(0,1) C(-1,1) D (,1)2 （2012 年高考（天津文） ）下列函数中,既是偶函数,又在区间 2内是增函数的为（）A cos2yxB 2log|yxC 2xeyD 31yx5 （2012 年高考（山东文） ）
10、函数cs6xx的图象大致为6 （2012 年高考（山东文） ）函数 21()4ln)fxx的定义域为 （）A 2,0)(,UB 1,0,2UC , D (1,210 （2012 年高考（湖南文） ） 设定义在 R上的函数 ()fx是最小正周期为 的偶函数,()fx是 f的导函数,当 ,x时, 1;当 (0,)且 2x时 ,专题一 函数概论 5()(02xf,则函数 ()sinyfx在 2,上 的零点个数为 （）A2 B4 C5 D8 14 （2012 年高考（福建文） ）设1,()0,fx(),1,(0gx()为 有 理 数为 无 理 数,则()fg的值为 （）A1 B0 C 1D 15 （2
11、012 年高考（大纲文） ）函数 ()yx的反函数为 （）A 2()yx B 2(1)yxC 10D 二、填空题19 （2012 年高考（重庆文） ）函数 ()(4fxax 为偶函数,则实数 a_21 （2012 年高考（天津文） ）已知函数21y的图像与函数 ykx的图像恰有两个交点,则实数 k的取值范围是 _.23 （2012 年高考（上海文） ）已知 )(xf是奇函数. 若 2)(fg且 1)(g,则)1(g_ .24 （2012 年高考（上海文） ）方程 03241x的解是_.26 （2012 年高考（山东文） ）若函数 ()(,1)xfaa在-1,2上的最大值为 4,最小值为 m,且
12、函数 14gxm在 0,)上是增函数,则 a=_.27 （2012 年高考（课标文） ）设函数 ()f= 的最大值为 M,最小值为 m,则(x+1)2+sinxx2+1M+m=_29 （2012 年高考（福建文） ）已知关于 的不等式 20a在 R上恒成立,则实数a的取值范围是 _.30 （2012 年高考（北京文） ）已知 ()(3)fxmx, (2xg.若,()0xRf或 g,则 的取值范围是_.专题一 函数概论 631 （2012 年高考（北京文） ）已知函数 ()lgfx,若 ()1fab,则22()fafb_.32 （2012 年高考（安徽文） ）若函数 ()|2|fx的单调递 增区
13、间是 3,),则_三、解答题33 （2012 年高考（上海文） ）已知函数 )1lg()xf.(1)若 1)(21(0xff,求 的取值范围;(2)若 )xg是以 2 为周期的偶函数,且当 0x时,有 )(xf,求函数(y)的反函数.参考答案一、选择题1. 【答案】:D 【解析】:由 ()0fgx得 2()430xg则 ()1gx或 ()3即321x或 3 所以 或 lo5;由 ()2x得 x即 4x所以 3log4故(,)MNI【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定. 2. 【解析】函数 xy2log为
14、偶函数,且当 0x时,函数 xy22logl为增函数,所以在 ),1(上也为增函数,选 B. 5. 解析:函数 xxf26cs, )(26cos)(xffx为奇函数, 当 0,且 时 ;当 0,且 时 ; 当 x, x, )(xf;当 , x2, 0)(xf. 答案应选 D. 6. 解析 :要使函数 )(xf有意义只需 04)1ln(2x,即 0,1x,解得 21,专题一 函数概论 7且 0x.答案应选 B. 213(3)()9ff. 10. 【答案】B 【解析】由当 x(0,) 且 x 时 , ()(02xf,知 0,()0,()2xfxf时 为 减 函 数 ； (),()fxf， 时 ,为 增 函 数又 ,时,0 f(x)1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2 的偶函数,在同一坐标系中作出 siny和 ()f草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在-2,2 上的零点个数为 4 个. 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 14. 【答案】B 【解析】因为 ()0g 所以 ()(0fgf. B 正确 【考 点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力. 15.答案 A 【命题意图】本试题主要考查了反函
