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1、第六节 直接证明与间接证明,三年9考 高考指数:1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程和特点.,1.本考点在历年高考中均有体现，主要以直接证明中的综合法为主；2.分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判断方法，一般不会单独命题.3.题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题.,1.直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出_的证明方法.,所要证明的结论成立,框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的
2、结论).文字表示为：“因为所以”或“由得”.思维过程：由因导果.,(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为_(已知条件、定义、定理、公理等)为止的证明方法.,判定一个明显成立,的条件,框图表示：(Q表示要证明的结论).文字表示为：“要证”，“只需证”，“即证”思维过程：执果索因.,【即时应用】(1)思考下列思维特点：从“已知”逐步推向“未知”，即逐步寻找已知成立的必要条件.从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论成立的充分条件.满足综合法的是_，满足分析法的是_(请填写相应序号).,(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则
3、s,t的大小关系是_.(3)在正项等比数列an和正项等差数列bn中，a1=b1,a3=b3,a1a3，则a5与b5的大小关系为_.,【解析】(1)由分析法、综合法的定义可判断.满足综合法；满足分析法.(2)由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)20,故st.(3)由a1a3,得b1b3,所以b1b5,且b10,b50,又a3= = =b3 ,即 ,又a1=b1,所以a5b5.答案：(1) (2)st (3)a5b5,2.间接证明(1)反证法的定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明_的证明方法.(2)利用反证法证题的步骤假设命题的结论不成
4、立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.简言之，否定归谬断言.,假设错误,原命题成立,【即时应用】(1)判断下列说法是否正确.(请在括号内打“”或“”)综合法是由因导果法 ( )综合法是顺推法 ( )分析法是执果索因法 ( )分析法是逆推法 ( )反证法是间接证法 ( )(2)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设_.,【解析】(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知都正确.(2)因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60” 的否定是“三角形三个内角一
5、个也没有不大于60”，即“三角形三个内角都大于60”.答案：(1) (2)三角形三个内角都大于60,综合法的应用【方法点睛】利用综合法证题的基本思路,【例1】已知x+y+z=1，求证：x2+y2+z2 .【解题指南】由基本不等式x2+y22xy,得到关于x、y、z的三个不等式，将三式相加整理变形,然后利用x+y+z=1得(x+y+z)2=1从而可证.,【规范解答】x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz,2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz,3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2,x+y+z=1,(x+y+z
6、)2=1,3(x2+y2+z2)1,即x2+y2+z2 .,【反思感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确.,【变式训练】设a0,b0,a+b=1,求证： 8.【证明】a+b=1, =2+2 =2+2+4=8.故 8,等号成立的条件是a=b= .,分析法的应用【方法点睛】分析法的特点与思路分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的
7、结论等.通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范.,【例2】(2012南通模拟)已知m0,a,bR,求证： 【解题指南】利用分析法，去分母后移项作差，最后变形可证.【规范解答】m0,1+m0.所以要证原不等式成立，只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20,而(a-b)20显然成立，故原不等式得证.,【反思感悟】1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2.在求解实际问题时，对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等
8、价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证,【变式训练】已知a,b(0,+),求证： .【证明】因为a,b(0,+)，要证原不等式成立,只需证 6 6,即证(a3+b3)2(a2+b2)3,即证a6+2a3b3+b6a6+3a4b2+3a2b4+b6.只需证2a3b33a4b2+3a2b4.,因为a,b(0,+),所以即证2ab2ab成立,以上步骤步步可逆,所以 nxn+1,nN+),至多有n-1个(即x0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,a+b+c0,这与a+b+c0矛盾.因此a,b,c中至少有一个大于0.,【反思感悟】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.,【变式训练】在ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c，若a,b,c三边的倒数成等差数列，求证：Ba,bc. , ,相加得 + + 这与 + 矛盾.故B90不成立.因此B90.,
