几类常见排列组合问题解题策略

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1、几类常见排列组合问题解题策略排列组合问题是高中数学中的一个难点，也是高考的必考内容。其思考方法独特，解题思路新颖。如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏” 。在初学阶段，提高学生解排列组合题的有效途径之一是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题。这样有利于学生认别模式，并进而熟练运用。本文列举了八种常见的排列组合典型问题的解题策略，希望能对大家有所帮助。1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题。例 1 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有

2、（ ）A B C D 3838A38解析 冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。把 8 名学生看作 8 家“店” ，3 项冠军看作 3 个“客” ，他们都可住进任意一家“店” ，每个客有 8 种可能，因此共有种不同的结果。选（A） 。8评述类似问题较多。如：将 8 封信放入 3 个邮筒中，有多少种不同的结果？这时 8封信是“客” ，3 个邮筒是“店” ，故共有 种结果。要注意这两个问题的区别。2 特色元素“优先法”某个（或几个）元素要排在指定位置，可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。例 2（2000 年全国高考题）乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3

3、名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答） 。解析3 名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有 种可能；3A然后从其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，有 种排法。因此结果为 =252 种。27A273例 3 5 个“1”与 2 个“2”可以组成多少个不同的数列？解析按一定次序排列的一列数叫做数列。由于 7 个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“2” ，剩下的位置填“1” （也可先填“1”再填“2” ） 。因此，一共可以组成=21 个不同的数列。27C3 相邻问题“捆绑法”把相邻的若干特殊

4、元素“捆绑”为一个“大元素” ，与其余普通元素全排列，是为“捆绑法” ，又称为“大元素法” 。不过要注意“大元素”内部还需要进行排列。例 4（1996 年上海高考题）有 8 本不同的书，其中数学书 3 本，外文书 2 本，其他书3 本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_种（结果用数字表示） 。解析将数学书与外文书分别捆在一起与其它 3 本书一起排，有 种排法，再将 3 本5A数学书之间交换有 种，2 本外文书之间交换有 种，故共有 =1440 种排法。3A2A235A评述这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”

5、解决。如：7 个人排成一排，要求其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素” ，但甲乙两人位置可对调，而且中间一人可从其余 5 人中任取，故共有 种排法。12051C4 相间问题“插空法”元素不相邻问题，先安排好其他元素，然后将不相邻的元素按要求插入排好的元素之间的空位和两端即可。例 5（2003 年北京春季高考题）某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ）A 6 B 12 C 15 D 30解析原来的 5 个节目中间和两端可

6、看作分出 6 个空位。将两个新节目不相邻插入，相当于从 6 个位置中选 2 个让它们按顺序排列，故有 种排法，选（D） 。302A评述本题中的原有 5 个节目不需要再排列，这一点要注意。请练习以下这道题：马路上有编号为 1、2、3、10 的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为 =20 种。你能很快求解吗？6C5 多元问题“分类法”对于多个元素问题，有时有多种情况需要进行分类讨论，然后根据分类计数原理将各种可能性相加即得。需要注意的是，分类时要不重复不遗漏。例 6（1999 年全国高考题）在一块并

7、排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方法共有_种（用数字作答） 。解析先考虑 A 种在左边的情况，有三类：A 种植在最左边第一垄上时，B 有三种不同的种植方法；A 种植在左边第二垄上时，B 有两种不同的种植方法；A 种植在左边第三垄上时，B 只有一种种植方法。又 B 在左边种植的情况与 A 在左边时相同。故共有=12 种不同的选垄方法。)123(例 7 有 11 名翻译人员，其中 5 名英语翻译员，4 名日语翻译员，另 2 人英语、日语都精通。从中找出 8 人，使他们组成两个翻

8、译小组，其中 4 人翻译英文，另 4 人翻译日文，这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出多少张？解析假设先安排英文翻译，后安排日文翻译。第一类，从 5 名只能翻译英文的人员中选 4 人任英文翻译，其余 6 人中选 4 人任日文翻译（若“多面手”被选中也翻译日文） ，则有 ；第二类，从 5 名只能翻译英文的人员中选 3 人任英文翻译，另从“多面手”65C中选 1 人任英文翻译，其余剩下 5 人中选 4 人任日文翻译，有 ；第三类，从 5 名45123C只能翻译英文的人员中选 2 人任英文翻译，另外安排 2 名“多面手”也任英文翻译，其余剩下 4 人全部任日文翻译，有 。三种情形相加即得结

9、果 185（张） 。425C 评述本题当然也可以先安排日文翻译再安排英文翻译，请大家自己列式看看。6 分球问题“隔板法”计数问题中有一类“分球问题” ，说的是将相同的球分到不同的盒中。如：将 10 个相同的球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中，要求每个盒中至少一个球，问有多少种不同的放法？这时可以用“隔板法”解题。即将 10 个相同的球排成一排，中间看作有 9 个空，从中选出 3 个不同的空插入 3 个“隔板” ，则每一种插法对应一种球的放法，因此共有=84 种不同的放法。用“隔板法”可很快地解决以下问题。9C例 8（2002 年全国高中数学联赛题）已知两个实数集合 与,1021aA，若

10、从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中每一个元素都有原象，且,5021bB，则这样的映射共有 （ ）)()(10afaffA B C D 501C59491049解析本题可以将 A 中的 100 个元素按 的顺序排成一排，中间有 99 个102,a空，从中选出 49 个插上隔板就是结果，即 ，选（D） 。497 正难则反“排除法”有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果。例 9（1990 年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 （ ）A 70 个 B 64 个 C 58 个 D 52 个解析直接统计较繁，可从反面入手。从 8 个顶点

11、中任取 4 个有 种取法，而四点48C共面的情况有 6 个表面和 6 个对角面，因此结果为 个，选（C） 。5124例 10（1997 年全国高考题）四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法有 （ ）A 150 种 B 147 种 C 144 种 D 141 种解析10 个点任取 4 个有 种取法。其中同一个面内 6 个点中任意 4 点共面，有410种；又每条棱上 3 点与对棱中点四点共面，有 6 种；且各棱中点中 4 点共面的情形有46C3 种。故 10 点中取 4 点，不共面的取法有 种，选（D） 。13410C8 先选后排“综合法”“先选后排”是解排

12、列组合问题的一个重要原则。一般地，在排列组合综合问题中，我们总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。例 11 对某产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第 5 次时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？解析第 5 次必测出一个次品，其余 3 个次品在前 4 次中被测出。从 4 个中确定最后一个次品有 种可能；前 4 次中应有 1 个正品 3 个次品，有 种；前 4 次测试中的顺14C316C序有 种。由分步计数原理得 种。A57)(46AC例 12（1995 年全国高考题）四个不同的小球放入编号为 1、2、3、4

13、的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_种（用数字作答） 。解析先从 4 个盒中选 1 个成为空盒有 种。再把 4 个球分成 3 组每组至少 1 个，即14分为 2，1，1 的三组，有 种。最后将三组球放入三个盒中，进行全排列有 种。214AC 3A因此，放法共有 种。4314214A评述本题涉及到了“分组问题” ，这是组合中一种重要的题型，它有三种情况：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组。以“将 6 本不同的书分成 3 组”为例，一是分为1、2、3，是不均匀分组，结果为 ；一是分为 2、2、2，是均匀分组，结果为32516C；一是分为 4、1、1，是部分均匀分组，结果为 。3246AC 2146AC