高一数学学思想与方法

《高一数学学思想与方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学学思想与方法（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期第一课 集合中蕴含的数学思想与方法（2 课时）【教学目标与要求】1， 理解和掌握有关整数集问题中的枚举探究法2， 理解和掌握数形结合思想和分类讨论思想在集合中的应用3， 理解和掌握检验与验证思想【教学过程】1， 对于有关整数集问题中的“枚举”探究法（含向后原则与方法） 。例 1：若集合 ，则 A 中的元素是_。ZxA36|解 1：（枚举向后原则）有 9,6542,10解 2：理解整除意义：知 ，即3x 9,6543,012x例 2：已知集合 ，判断 M 与 N 的关ZkNZkM|,|系，并说明理由。解 1：枚举知 ,531,53,1,解 2：理解集

2、合相等的含义： NmxkNmxkx 14,12;4,2, 0000 则若则若则设总有 NM反之，设 ，Mxx)(114000， 若， 则若 ，总有 ，故mx)2(14 NN例 3：写出集合 的所有子集。,3解：（按元素个数和元素向后的顺序） ，略写出。2， 数形结合思想在集合中，图示法即韦恩图与数轴的应用。例 4，若 ，则 （ A ）UNMNCuuA， B， C， D，)(Cu)(MuMNCu例 5：已知全集 ，且 ,若 ，4,3210UB,12)(BA，则下列结论中正确的是（ B ）,)(uuA， B， C， D，0且 A0且 0且 0且说明：例 4，例 5 说明了：韦恩图适合于抽象集合或元

3、素个数有限的集合问题的研究。拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期例 6：设全集 ,已知 ，求RU20|,1| xBxABCAu解：利用数轴有： |Cu或例 7：若 ，当 时，a 的取值范围是 a4 ;axx|,41| A当 时，a 的取值范围是 。BA1说明：对于实数集或其子集的集合问题，利用数轴能直观地反映出其本质。例 8：设集合 ，且),(|,23| 为 常 数或 baxBxx BA， ，则 a= -2 ,b= 4 42|x|解：借助数轴，有 a= -2,b= 43， 集合中的“分类讨论思想” 。例 9：已知 且有 ，求 a 的值。01|,06|2 axNxMMN解：知 ,由33

4、,2即方程 无解、有 2 解、有 3 解，01ax ,例 10：已知 且有 ，求 m,n 的值。2,5,3nBmABA解：由题意知： 或2n3解得： （舍） ， 或 10nm547n49例 11：已知 。BAZnyBZkxA 求,23|,1|解 1：枚举知 中元素为 5,17,29，归纳有B ZmxA,51|解 2：（讨论 k 被 3 整除的情况）对于集合 A，其元素为 ，14kx，则ZQ当 ;2)(Bmmk时 ，当 ;2)14(35113 Bx时 ，当 Zk9)(2时 ，拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期综上： ZmxBA,512|注：有时各种思想在交替使用中。4， 检验与验证思

5、想。由于集合的互异性等性质，在考虑问题时，无法判断是否存在，因此对集合的某些问题要加以检验与验证，如例 10 中，m =0,n=1例 12：已知 ，且有 ，求 BaaBaA2,5,70,1222 A5解： 61,5,5 或则 有Q经检验：只有 时满足， 4,拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期第二课 命题和充要条件中蕴含的数学思想与方法（1 课时）【教学目标与要求】1， 理解和掌握命题中“等价转换”与“举反例”的思想与方法。2， 理解和掌握充要条件中的“化归”与“等价代换”的思想与方法。【教学过程】1， 命题形式中的“等价转换”与“举反例”的思想方法。原命题与它的逆否命题是等价命题，

6、它们同真或同假。举反例是证明一个命题为假命题的行之有效的基本方法。例 1：“若 x0，b0, ,比较 的大小*,Nnbabann与1解： )()()(1nb（讨论 a b0 与 b a0）当 a b0 时， babannn 10,当 b a0 时， n10综上， bann1例 2：已知函数 ，)2(),(0,)( 121212 xfbxfaxmxf 时 ， 记若，当 m0 时，判断 a,b,c 的大小关系。21xfc分析：代入特殊值，通过试算有 a0 且 ，比较 四个数的大小。0bab,解：由已知有： 在数轴上的位置如图：a,所 以ba四，分类讨论的思想。如在例 1 中，为什么要分 和 两种情

7、况讨论（确定 与 的符号，从而abban得到两数式的大小关系） ，这种讨论标准有些是根据题意要求确定（如为了判断 a-b 的符号），有些是由其基本概念确定的。例 6：若 ，比较 的大小。*,0,Nndcbancbda与拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期解： 00dcdcQabdc10cb又nncdaNn则,*若 n 为奇数，则得 ，即nnbncbda若 n 为偶数，则得ncda综上，当 n 为奇数时， ；当 n 为偶数时，nbncbda说明：为什么讨论 n 的奇偶性。例 7：“若 ”命题正确否？若正确，请给予证明；若不正确，请说明3,0ab则理由。如果改为“若 ”则命题是否正确，为

8、什么？你能得到一nbaN则,*个更一般化的结论吗？解：命题“若 ”正确。3,0bab则这是因为：由 ，333)(0ba命题“若 ”不正确。nNn则,*这是因为：当 时， 不成立，所以该命题不正确。21abnba更一般的结论是：若 n 为奇数，如果 ;nb就 有若 n 为偶数，如果 。a就 有|拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期第四课 一元二次不等式解法中蕴含的数学思想与方法（1 课时）【教学目标与要求】有关函数和方程（不等式）的思想、分类讨论的思路和数形结合的思想。一，函数和方程（不等式）的思想解不等式的问题可以转化为解方程及函数图像与 x 轴的交点问题（或者是两个函数图像交点的问

9、题，然后根据题意判断所求解的区间）这说明（二次）函数、方程、不等式三者之间的关系是密不可分的。例 1：若关于 x 的不等式 )0(62kxk（1）其解集为 ，求实数 k 的值；3|或（2）其解集为 ，求实数 k 的值；kx1|（3）其解集为 R，求实数 k 的取值范围；（4）其解集为 ，求实数 k 的取值范围。解：（1）方程的两根是-3， -2 且 k0, 52k韦 达 定 理 得（2）方程有相等的根 6,01且（3） 60k（4） 今后将有更多的体现例 2：设 是方程 的解，求证：0x1)(2)2,1(0x解：可转化为 ， 是函数 的图像交点的横坐标，图形知x0y2与),1(0x二，分类讨论

10、的思想。明确分类的原因和分类的标准，分类时是一个层次一个层次的分。例 3：解关于 x 的不等式 02)(2xm分析：分三个层次分类，m 是否为 0（两种类型不等式）/m 正负（开口）/两根大小拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期解：当 m=0 时，不等式为 )1,(,02解 集 为x当 时，不等式可化为 ；0)(xm当 时，则有 解集为 ；,1),2(,(当 时，得 ，即 ；m0)(2x1当 时，解集为 ；02,m当 时，解集为 ； 时，解集为)1(2综上： 时，解集为 ；m =0 时， ；m),(,)1,(解 集 为时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为 。02)2(2)2,(

11、m例 4：关于 x 的不等式组 的整数集是 ，求实数 a 的取值07)(62axx3范围。解：不等式 的解集是062x ),3(),(（*）0277)( xaa（一般情况下分类，即 时 ； 时 ； 时 ）2),()27,(a） 的 解 集 只 能 是（，不 等 式 组 的 整 数 解 集 是 3Q（借助数轴） ，故 a 的取值范围是43a3,4说明：该题仔细分析避免了分类讨论，使解题过程非常简洁。分类讨论的目的是妥善处理解决问题过程中所遇到的障碍，在无障碍时不要提前分类。非要分类时，也要想一想为什么要分类？分类解决了什么问题？按照什么标准和原则分类的？三，数形结合的思想一元二次不等式的解的情况

12、就是根据二次函数的图像与 x 轴的交点的情况求得，体现了数形结合的思想方法可帮助我们很好地理解和记忆。例 5：对任意 ，求证： ，试问你能用几种方法证明之。Rx12x证 1：作差 12,087)4()1(2 x证 2：转证： 函数 的图像恒在 x 轴上方，0Qx y拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期恒成立，故012x12x证 3：其解集是由 的图像在 图像上方的部分的横坐标所组成的，由数形yy直观得到恒有 成立。2x拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期第五课 其他不等式解法中蕴含的数学思想与方法（1 课时）【教学目标与要求】主要是等价转化的思想及分类讨论的思想和数形结合的

13、思想【教学过程】不等式的解法时刻体现同解变形，实施等价转化的思想方法，化高次为低次、化分式为整式、化绝对值问题为非绝对值问题等等。例 1：解下列不等式（1） 0)3(2)(xx（2） 186432（3） 5|x解：（1）数轴标根法有： ),3()2,(),(（2）等价于 ，解 集 为 4,21,0)4(231x（3）等价于 351x或或 ),3(解 集 为例 2：已知不等式 ，求实数 a,b 的值。1,2122的 解 集 为xbxa解： 均恒正，可以去分母，则原不等式等价于：,1Q，其解集为0)()()2(2abxab 1,2等价于 ，解得：ab2102,4b例 3：已知不等式 ，求 a 的值。)21,(| 的 解 集 为x解：两边平方，原不等式等价于 )(2x拓展课程 课本中的数学思想与方法