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1、数学思维的教育1第一讲：因式分解(一) .1第二讲：因式分解(二) .4第三讲 实数的若干性质和应用 .7第四讲 分式的化简与求值 .10第五讲 恒等式的证明 .13第六讲 代数式的求值 .16第七讲 根式及其运算 .19第八讲 非负数 .23第九讲 一元二次方程 .27第十讲 三角形的全等及其应用 .31第十一讲 勾股定理与应用 .35第十二讲 平行四边形 .38第十三讲 梯形 .41第十四讲 中位线及其应用 .45第十五讲 相似三角形(一) .47第十六讲 相似三角形(二) .50第十七讲* 集合与简易逻辑 .54第十八讲 归纳与发现 .59第十九讲 特殊化与一般化 .63第二十讲 类比与
2、联想 .67第二十一讲 分类与讨论 .70第二十二讲 面积问题与面积方法 .74第二十三讲 几何不等式 .77第二十四讲* 整数的整除性 .81第二十五讲* 同余式 .84第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题 .87第二十七讲 列方程解应用问题中的量 .91第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题 .95第二十九讲 生活中的数学(三 ) 镜子中的世界 .98第三十讲 生活中的数学(四)买鱼的学问 .99第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌
3、握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a 22ab+b2=(ab)2；(3)a 3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a 3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=
4、(a+b+c)2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 为正整数；(8)a n-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 为偶数；(9)a n+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中 n 为奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例 1 分解因式：(1)-2x 5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn
5、-1yn+4；(2)x 3-8y3-z3-6xyz；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a 7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2x n-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2x n-1yn(x2n-y2)2 =-2x n-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x 3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a 2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b) 2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)
6、2本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a 2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)数学思维的教育2=(a-b+c) 2(4)原式=(a 7-a5b2)+(a2b5-b7)=a 5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a 2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b) 2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例 2 分解因式：a 3+b3+c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将
7、此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)这个 式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导解 原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b) 2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a 3+b3+c3-3abc显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0 时，则 a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而
8、且，当且仅当 a=b=c 时，等号成立如果令 x=a30，y=b 30，z=c 30，则有等号成立的充要条件是 x=y=z这也是一个常用的结论例 3 分解因式：x 15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是：有 16 项，从最高次项x15开始，x 的次数顺次递减至 0，由此想到应用公式an-bn来分解解 因为x 16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个
9、仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例 4 分解因式：x 3-9x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法 1 将常数项 8 拆成-1+9原式=x 3-9x-1+9=(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 2 将一次项-9x 拆成 -x-8x原式=x 3-x-8x+8=
10、(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x- 1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 3 将三次项 x3拆成 9x3-8x3原式=9x 3-8x3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x3+8)数学思维的教育3=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)解法 4 添加两项-x 2+x2原式=x 3-9x+8=x 3-x2+x2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，
11、因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例 5 分解因式：(1)x 9+x6+x3-3；(2)(m 2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1) 4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1解 (1)将-3 拆成-1- 1-1原式=x 9+x6+x3-1-1-1=(x 9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x 3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2+x+1)(x6+2x3+3)(2)将 4mn 拆成 2mn+2mn原式=(m 2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m 2
12、n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m 2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1) 2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(x 2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1) 4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1) 4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1) 2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x 2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a 3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-
