数学科学前沿简介

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1、第一讲数学科学前沿简介第一讲 数学科学前沿简介一、20 世纪数学研究的简单回顾记者：林先生，您好。首先我们非常感谢您在百忙之中抽出时间接受这次访谈，为全国中小学教师介绍有关数学学科前沿的一些基本情况。科学研究跨入了新世纪的门槛，我们看到，各门学科一方面在回顾学科发展历程，另一方面也在展望本学科的发展前景。您从 1956 年进入中科院正式从事数学研究工作，到现在已经将近半个世纪，在这半个世纪里，您一直奋斗在数学研究的前沿。您能根据您这么多年对数学的研究，回顾一下 20 世纪数学的发展历程，在这个历程中，数学研究有哪些重大进展和重大成就？林群：据您所说的，站在数学内部看，上个世纪的数学必须归结到

2、1900年 8 月 6 日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上，38 岁的德国数学家希尔伯特(Hilbert, 1862-1943)所发表的题为数学问题的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了 23 个最重要的数学问题。这 23 个问题通称希尔伯特问题。这一演说成为世界数学史发展的里程碑，为 20 世纪的数学发展揭开了光辉的一页。在这 23 个问题中，头 6 个问题与数学基础有关，其他 17 个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。 到了 1905 年，爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学家，庞加莱和洛伦兹也已经走到

3、了相对论的门口），1907 年，他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功，唯独不能应用于万有引力问题。为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对论的研究，并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学上碰到的困难使他多年进展不大。大约在 1911 年前后，爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几何。1915 年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架，以及张量分析的语言完成了广义相对论。 还有您讲的德国女数学家诺特（Emmy Noether 18821935）发表的论文Idealtheorie in Ringbereiche（环中的理想论）

4、 标志着抽象代数现代化开端。她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。还有其它许多数学大成果。偷懒一点说，20 世纪近 50 名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。但从数学以外，或从推动社会发展这个角度来看，也许与计算机的算法研究有关的数学，更有影响。这种研究发生在第二次世界大战前后，有三位数学家（图灵、哥德尔、冯.诺依曼），而不是工程师，由于对于计算机的诞生、设计和发展起了奠基和指导的作用，因此被列入 20 世纪“百年百星”的名单中。另外两位获得诺贝尔奖的纯数学家（康托洛维奇、纳什）也是与算法研究（或军事数学）有关，后者被拍成电影，刚获得奥斯

5、卡奖。我国首届国家最高科技奖（不是数学奖）得主吴文俊的工作也包括了算法的研究。有一次在中国十大科技进展中有一项数学家堵丁柱的工作，也是有关算法的。值得注意的是，这些人都没有获得菲尔兹奖。与算法研究（或军事数学）有关的，还有筹学、密码学以及大规模科学工程计算 等等。我怎么会有一个模模糊糊的感觉（被吴文俊感染的？），好象二十世纪中，以算法为主干的数学研究对于外部世界，科技和军事，有相当直接的影响。本世纪（信息、材料、生物）是否还会如此？等着瞧！ 二、数学研究领域的重大难题记者：刚才林院士为我们勾勒了二十世纪数学研究的图景。应该说在 20 世纪，无论是经典的数学分支，还是新兴的数学分支，都取得了相当

6、大的进展。然而我们也看到，在数学研究的历程中，存在诸多遗憾，有多难题至今没有解决，或者没有得到完美的解决。林先生，在数学研究当中，您认为在数学领域存在着哪些重大难题？ 林群：至于难题，应该说解决需要很大的决心，我以为我们科研工作者能做好自己的本职工作，上个世纪没有解决的难题，这个世纪也未必可以解决。应该说二十世纪是数学大发展的世纪。从报道上看，数学的许多重大难题得到了解决，如费尔玛大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。 计算机的出现是 20 世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。回首 20世纪数学的发展，象

7、您所说的，数学家们深切感谢 20 世纪最伟大的数学大师大卫希尔伯特。正如我们在开始谈到的，希尔伯特在 1900 年 8 月 8 日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了 23 个数学难题。希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向， 其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。 效法希尔伯特，许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希望为新世纪数学的发展指明方向。数学界也爱搞点新闻效应，2000 年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”， 克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决

8、都可获得百万美元的奖励。克雷数学所“千年大奖问题”的选定，其目的未必是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。 2000 年 5 月 24 日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，1998年费尔兹奖获得者伽沃斯（Gowers）以“数学的重要性”为题作了演讲，其后，塔特（ Tate）和阿啼亚 (Atiyah) 公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对“千年大奖问题” 的解决与获奖作了严格规定。 每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解

9、决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。这七个“千年大奖问题”是：NP 完全问题，郝治（Hodge） 猜想，庞加莱（Poincare） 猜想，黎曼（Rieman ）假设，杨米尔斯 (Yang-Mills) 理论, 纳卫尔斯托可（Navier-Stokes）方程，BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。“千年大奖问题 ”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动（第一个问题就是关于计算机

10、算法的一个基本理论） 。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家，包括我国数学家，正在组织联合攻关。 三、数学研究领域的重大难题（续） 数学领域其他的难题可以说层出不穷，根据您提供的信息，简单的至少有以下几个： 第一个是哥德巴赫猜想 哥德巴赫（Goldbach）是德国一位数学家，生于 1690 年。1742 年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于 6 的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如 633，1257 等等。 公元 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想： (a) 任何一个=6 之偶数，都可以表示成两个奇

11、质数之和。 (b) 任何一个=9 之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在 6 月 30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 图 1 大数学家欧拉 5 + 11, 18 = 5 + 13,

12、 . . . . 等等。有人对33108 以内且大过 6 之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200 年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20 世纪 20 年代，才有人开始向它靠近。1920 年，挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比 36 大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9+9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德

13、巴赫猜想”。 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于 1966年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem) 。即“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结论为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 在陈景润之前，关于偶数可表示为 s 个质数的乘积 与 t 个质数的乘积之和（简称“s + t”问题）之进展情况如下： 1920 年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9”。 图 2 青年人的榜样、中国著名数学家陈景润 图 3 著名数学家王元 图 4 法国数学家韦达 1924 年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7”

14、。 1932 年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6”。 1937 年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15 ”和“2 + 366”。 1938 年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5”。 1940 年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4”。 1948 年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c”，其中 c 是一很大的自然数。 1956 年，中国的王元证明了 “3 + 4”。 1957 年，中国的王元先后证明了 “3 + 3 和 2 + 3”。 1962 年，中国的潘承洞和苏联的

15、巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5”，不久，潘承洞和王元又证明了“1 + 4”。 图 6 法国数学家达朗贝尔 1965 年，苏联的布赫夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，以及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。 1966 年，中国的陈景润证明了“1 + 2”。 最终会由谁攻克“1 + 1”这个难题呢？现在还无法预测，不过，王元最近有一个演讲，说英国数学家正在绕道探讨，但愿有希望。 第二个是连续统之谜 （注：文中将阿拉夫零记为 alf(0)，阿拉夫一记为 alf(1)，依次类推） 由于 alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神

16、奇运算，因而，以下的结果也不足为怪： alf(0)+ 1 = alf(0) alf(0) + n = alf(0) alf(0) + alf(0) = alf(0) alf(0) n = alf(0) alf(0) alf(0) = alf(0) alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为 alf(0)；或由它们的基数为 alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比 alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破 alf(0)，但幂集可突破：= alf(1)。可以证明实数集的基数 card() = alf(1)。进而，阿拉夫“家族”一发而不可收： = alf(2); = alf(3); alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出空间所有曲线的数目。但而后的 alf(3)，人类绞尽脑汁，