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1、1,材料成形过程数值模拟,2,课程简介,课时数：40课时学分数：2.5先修课程线性代数、工程力学、传质传热学、材料科学基础、材料成型原理、热处理原理及工艺、铸造工艺及设备、焊接工艺及设备等,3,目的：系统掌握材料成形过程数值模拟的基本原理和一般步骤了解材料成形时各加工方式的特点、基本规律、数值分析原理与技术要点培养学习者分析解决实际工程问题的能力。要求：掌握材料成形数值模拟的基本知识和理论掌握各种材料成形过程的相关理论、数值方法、实现过程和实际应用了解材料加工过程中建模与数值分析技术现状和发展趋势,课程目的和要求,4,第一章 绪论,基本概念CAE将一个成形过程（或过程的某一方面）定义为由一组控
2、制方程加上边界条件构成的定解问题，从而获得对成形过程的定量认识。材料成形包括:金属铸造成形、塑性成形、连接成形高分子材料黏流态注射成形,5,1.2 材料成形数值模拟的工程意义及应用现状,工程意义制定和优化材料成形方案与模具设计方案解决工模具调试或产品试成形过程中的技术问题解决成形制品批量生产中的质量控制问题应用现状铸造成形、塑性成形、焊接成形、黏流态成形,6,1.3 材料成形数值模拟的发展趋势,（1）模拟分析由宏观进入微观（2）加大多物理场的耦合分析（3）拓宽数值模拟在特种成形中的应用（4）强化基础性研究（5）关注反向模拟技术应用,7,第二章 有限元与有限差分法基础,CAE的工具：有限元法（F
3、EM）、有限差分法（FDM）、边界元法（BEM）、有限体积法（FVM）、无网格法等等在材料成形的CAE中主要使用的是有限元法和有限差分法,8,“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。 “ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为 “平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃发展。 到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的
4、可靠依据。,9,有限元法最初用于飞机结构的强度设计，由于它在理论上的通用性，因而它可用于解决工程中的许多问题。目前，它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、电磁场、流体动力学、地质力学、原子工程和生物医学等方面的问题。 机械设计中，从齿轮、轴、轴承等通用零部件到机床、汽车、飞机等复杂结构的应力和变形分析（包括热应力和热变形分析）。有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性和粘塑性材料以及流体均能求解；对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。,10,2.1 有限元法基础,基本思想：将一个连续求解域（对象）离散
5、（剖分）成有限个形状简单的子域（单元）利用有限个节点将各子域连接起来在给定的初始条件和边界条件下进行综合计算求解，从而获得对复杂工程问题的近似数值解,11,为什么要离散？,1.无法得到复杂实际问题的解析解2.将域划分成一些微小而形状规则的单元后，便于在一个单元内得到近似解3.域中所有单元的解可视为该复杂问题的近似解,12,有限元分析的过程,1.连续体离散化 2.单元分析 3.整体分析 4.确定约束条件 5.方程求解 6.结果分析与讨论,13,1.连续体离散化,连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体
6、称为单元，相邻两个单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。 *单元划分后，给每个单元及节点进行编号； *选定坐标系，计算各个节点坐标； *确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。,14,单元的划分基本上是任意的，一个结构体可以有多种划分结果。但应遵循以下划分原则：(1) 分析清楚所讨论对象的性质，例如，是桁架结构还是结构物，是平面问题还是空间问题等等。(2) 单元的几何形状取决于结构特点和受力情况，单元的几何尺寸(大小)要按照要求确定。一般来说，单元几何形体各边的长度比不能相差太大。
7、 (3) 有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确，但计算工作量就越大。因此，在保证计算精度的前提下，单元网格数量应尽量少。(4) 在进行网格疏密布局时，应力集中或变形较大的部位，单元网格应取小一些，网格应划分得密一些，而其他部分则可疏一些。,15,(5) 在设计对象的厚度或者弹性系数有突变的情况下，应该取相应的突变线作为网格的边界线；(6) 相邻单元的边界必须相容，不能从一单元的边或者面的内部产生另一个单元的顶点。(7) 网格划分后，要将全部单元和节点按顺序编号，不允许有错漏或者重复。(8) 划分的单元集合成整体后，应精确逼近原设计对象。原设计对象的各个顶点都应该取成单元的顶点。 所有网格
8、的表面顶点都应该在原设计对象的表面上。所有原设计对象的边和面都应被单元的边和面所逼近。,16,有限元分析模型图例,将悬臂梁划分为许多三角形单元三角形单元的三个顶点都是节点载荷直接施加在节点上,悬臂梁及其有限元模型,17,2.单元分析,连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称为单元分析。单元分析工作主要有两项：(1)选择单元位移模式(位移函数) 用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，就需搞清各单元中的位移分布。 一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。通常采用的函数形式多为多项式。 根据所选定的位移模式，就可以导出用节
9、点位移来表示单元体内任一点位移的关系式。,18,2.单元分析(2),(2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵 进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷； 采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节点位移与节点力之间的关系矩阵单元刚度矩阵。,19,3. 整体分析,把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。,20,4. 确定约束条件,由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约
10、束条件，并对这些方程进行适当修正。,21,5. 有限元方程求解,应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析有三种基本解法：,位移法 力法 混合法,22,(1)位移法以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数，进行单元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。 位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以得到广泛应用，其缺点是精度稍低。 (2)力法以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。力法的特点是计算精度高。 (3)混合法取一部分节点位移和一部分节
11、点力作为基本未知量，建立平衡方程进行求解。,23,单元特性的推导方法,单元刚度矩阵的推导是有限元分析的基本步骤之一。目前，建立单元刚度矩阵的方法主要有以下四种：, 直接刚度法 虚功原理法 能量变分法 加权残数法,24,1. 直接刚度法 直接刚度法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的一种方法。这一方法仅能适用于简单形状的单元，如梁单元。但它可以帮助理解有限元法的物理概念。,图1所示是xoy平面中的一简支梁简图，现以它为例，来说明用直接刚度法建立单元刚度矩阵的思想和过程。,图1平面简支梁元及其计算模型,25, 梁在横向外载荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产生弯曲变形，在
12、水平载荷作用下产生线位移。 对于该平面简支梁问题：梁上任一点受有三个力的作用： 水平力Fx， 剪切力Fy ， 弯矩Mz。相应的位移为： 水平线位移u， 挠度v ， 转角 z 。,由上图可见：,水平线位移和水平力向右为正， 挠度和剪切力向上为正， 转角和弯矩逆时针方向为正。, 通常规定：,26,为使问题简化，可把图示的梁看作是一个梁单元。如图1所示，当令左支承点为节点 i ，右支承点为节点 j 时，则该单元的节点位移和节点力可以分别表示为：,称为单元的节点位移列阵。,称为单元的节点力列阵；若 F 为外载荷，则称为载荷列阵。,（1-1）,（1-2）,写成矩阵形式为,q(e)=ui ,vi , zi
13、 ,vj ,uj , zjT,ui ,vi , zi ,vj ,uj , zj,F(e)=Fxi ,Fyi ,Mzi ,Fxj ,Fyj ,MzjT,Fxi ,Fyi ,Mzi ,Fxj ,Fyj ,Mzj,27,显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围内，这种关系是线性的，可用下式表示,或,（1-3b）,（1-3a）,28,上式(1-3b)称为单元有限元方程，或称为单元刚度方程，它代表了单元的载荷与位移之间（或力与变形之间）的联系；式中，K(e)称为单元刚度矩阵，它是单元的特性矩阵。,对于图1所示的平面梁单元问题，利用材料力学中的杆件受力与变形间的关系及叠加原理，可以直接计算出
14、单元刚度矩阵K(e)中的各系数 kst( s, t = i, j ) 的数值,29,2. 虚功原理法,下面以平面问题中的三角形单元为例，说明利用虚功原理法来建立单元刚度矩阵的步骤。如前所述，将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量的单元，从而使连续体转换为有限个单元组成的组合体。单元与单元之间仅通过节点连结，除此之外再无其他连结。也就是说，一个单元上的只能通过节点传递到相邻单元。,从分析对象的组合体中任取一个三角形单元：设其编号为 e ，三个节点的编号为i、j、m，在定义的坐标系 xoy 中，节点坐标分别为(x j , y j)、(xi , y i)、(xm, ym)，如图2所示。,图2三节点三
15、角形单元,30,由弹性力学平面问题的特点可知，单元每个节点有两个位移分量，即每个单元有6个自由度，相应有6个节点载荷，写成矩阵形式，即,单元节点载荷矩阵：F(e)=Fxi ,Fyi ,Fxj ,Fyj ,Fxm ,FymT,单元节点位移矩阵：q(e)=ui ,vi ,uj ,vj ,um ,vmT,图2三节点三角形单元,31,(1)设定位移函数,按照有限元法的基本思想：首先需设定一种函数来近似表达单元内部的实际位移分布，称为位移函数，或位移模式。,三节点三角形单元有6个自由度，可以确定 6个待定系数，故三角形单元的位移函数为,（1-4）,式(1-4)为线性多项式，称为线性位移函数，相应的单元称为线性单元。,u=u(x,y)= 1+ 2x+ 3yv=v(x,y)= 4+ 5x+ 6y,32,上式(5-5)也可用矩阵形式表示，即,式中，d为单元内任意点的位移列阵。,（1-5）,33,由于节点 i、j、m 在单元上，它们的位移自然也就满足位移函数式(1-4)。设三个节点的位移值分别为( ui, vi)、( uj, vj )、( um, vm )，将节点位移和节点坐标代入式(1-4)，得,
