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1、第一节 函数及其表示,三年9考 高考指数:1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.,1.函数的概念、定义域及表示法（特别是分段函数)是近几年高考命题的热点.2.常和对数、指数、函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题.3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.,1.函数的概念,条件,给定两个非空数集A和B；按照某个对应关系f；集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应.,结论,对应关系f
2、叫作定义在集合A上的函数,记法,f：AB,或y=f(x),xA,自变量与函数值,自变量是x.当x=a时,则用f(a)表示函数y=f(x)的函数值.,【即时应用】(1)思考：函数定义中对集合A中的元素有什么要求？提示：全部参与对应;在集合B中对应元素存在且唯一确定.,(2)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填“是”或“否”)A=R，B=x|x0,f:x|x|; ( )A=R，B=R，f:xx2; ( )A=Z,B=R，f:x ( )A=Z，B=Z，f:xx2-3. ( ),【解析】否，因为A中的元素0在B中没有对应元素;否，因为A中的元素为负整数时在B中没有对应元素;是，满足函
3、数的定义，是从A到B的函数.答案：否 是 否 是,2.函数的构成要素函数由_、_、_三个要素构成，对函数y=f(x),xA，其中，(1)定义域:自变量x的_.(2)值域：函数值的集合_.,定义域,值域,对应关系,集合A,f(x)|xA,【即时应用】(1)判断下列各组函数中，是否是同一函数.(请在括号中填“是”或“否”)f(x)=x与g(x)=( )2 ( )f(x)=|x|与g(x)= ( )f(x)=x|x|与g(x)= ( )f(x)= 与g(t)=t+1(t1) ( )(2)函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为_.(3)设集合A=x|y= ,集合B=y|y=x2,xR
4、,则AB=_.,【解析】(1)否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同；否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；是，函数f(x)= =x+1(x1)与g(t)=t+1(t1)是同一函数.(2)当x取0,1,2,3时，对应的y的值依次为0,-1,0,3,所以其值域为-1,0,3.(3)已知A=x|x-20=x|x2,B=y|y0,AB=x|x2.,答案：(1)否 否 否 是(2)-1,0,3 (3)x|x2,3.函数的表示方法表示函数常用的方法有：_、_和_.,列表法,图像法,解析法,【即时应用】(1)下列四个图像是函数f(x)=x+ 的图像的是_.,(2
5、)若f( +1)=x+ 则f(x)的解析式为_.,【解析】(1)f(x)= (2)方法一：令t= +1，则x=(t-1)2,t1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,f(x)=x2-1(x1).方法二：x+ =( +1)2-1,f( +1)=( +1)2-1.又 +11,f(x)=x2-1(x1).,答案：(1)(2)f(x)=x2-1(x1),4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.,对应关系,【即时应用】(1)已知函数f(x)=(2)设 若f(x)=3，则x=_.,【解析】(1)(2)当x-1时，-x+2=
6、3，得x=-1，符合要求；当-1x2时，x2=3，得x= 只有 符合要求；当x2时，2x=3,得x= 不符合要求.综上可知，x=-1或答案：(1) (2)-1或,5.映射的概念,条件,两个非空集合A与B间存在着对应关系f；A中的_元素x，B中总有_的一个元素y与它对应.,结论,_称为从A到B的映射,一一映射,f：AB,记法,像与原像,A中每一个元素在B中都有_的像与之对应；A中的不同元素的像_；B中的每一个元素都有_.,_称为原像，_称为x的像，f：_,每一个,唯一,对应关系f,A中的元素x,B中的对应元素y,唯一,也不同,原像,xy,【即时应用】(1)思考：设f：AB是一个映射，则A中每一个
7、元素都有像，而B中的每一个元素都有原像吗？提示：不一定.由映射的定义可知B中的每一个元素在A中不一定有原像.,(2)设A=0,1,2,4，B= 0,1,2,6,8，判断下列对应关系是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)f:xx3-1 ( )f:x(x-1)2 ( )f:x2x-1 ( )f:x2x ( ),【解析】不是，当A中的x=0，2，4时在B中没有对应元素；不是，当A中的x=4时在B中没有对应元素；是，满足映射的定义，是从A到B的映射；不是，当A中的x=2时在B中没有对应元素.答案：否 否 是 否,求简单函数的定义域、值域【方法点睛】1.求简单函数的定义域的方法(1)若已知函
8、数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义的不等式(组)求解.,(3)求抽象函数的定义域：若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.,2.求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图像观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.,【例1】(1)(2012西安模拟)函数f(x)= 的定义域为_.(2)已知函数f(2x)的定义域是-1,1，求f(x)的定义域；(3)求下列函数的值域
9、.y=x2+2x,x0,3;y=log3x+logx3-1;,【解题指南】(1)根据解析式求定义域，只需构建使解析式有意义的不等式组求解即可；(2)求抽象函数的定义域，要明确2x与f(x)中x的含义;(3)根据解析式的特点，分别选用图像观察法；均值不等式法；单调性法求值域.,【规范解答】(1)要使该函数有意义，需要 解得:x2.所以所求函数的定义域为(-,-2)(-2,-11,2)(2,+).,答案：(-,-2)(-2,-11,2)(2,+)(2)f(2x)的定义域为-1，1，即-1x1, 故f(x)的定义域为 2.,(3)y=(x+1)2-1，在0,3上的图像如图所示,由图像知：0y32+2
10、3=15,所以值域为0,15.,y=log3x+ -1，定义域为(0,1)(1,+)，当0x1时，y当x1时，y综上可知，值域为(-,-31,+).x2-1-1，又y=2x在R上为增函数, 故值域为 +).,【互动探究】若本例(2)中条件不变，求f(log2x)的定义域.【解析】由本例()中知f(x)的定义域为 2,函数y=f(log2x)中， log2x2,即： log2xlog24, x4,故函数f(log2x)的定义域为 4.,【反思感悟】1.求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式(组)，从而求解.2.f(g(x)的定义域为a,b，指的是x的取值范围是a,b，而不
11、是g(x)的取值范围是a,b.3.求函数的值域时，若能画出图像，则用图像观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足均值不等式的条件，则用均值不等式法求解.,【变式备选】若函数f(x)= 的定义域为R，则a的取值范围为_.【解析】因为函数f(x)的定义域为R，即 0,对xR恒成立，亦即x2+2ax-a0恒成立,需=(2a)2-4(-a)=4a2+4a0即可,解得:-1a0.答案：a|-1a0,分段函数及其应用【方法点睛】分段函数求值、解不等式及求解析式的方法处理分段函数的求值、解不等式及求解析式等相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段
12、区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.【提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.,【例2】(1)(2012南昌模拟)已知函数则f(x)-f(-x)-1的解集为( )(A)(-,-1)(1,+)(B)-1, )(0,1(C)(-,0)(1,+)(D)-1, (0,1),(2)已知函数y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.,【解题指南】(1)求解关于分段函数的不等式，一般的思路是根据每一段的解析式分类求解，再求其并集.(2)已知图像形状，求解析式，可用待定系数法.,【规范解答】(1)选B.当-1x0时，0-x1，此时f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,f(x)-f(-x)-1化为-2x-2-1，得x 则-1x当0x1时，-1-x0，此时，f(x)=-x+1，f(-x)=-(-x)-1=x-1,f(x)-f(-x)-1化为-x+1-(x-1)-1,解得x 则0x1. 故所求不等式的解集为-1, )(0,1.,(2)根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b (x1).点(1,1),(0,2)在射线上,左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1);同理,x3时，函数的解析式为y=x-2(x3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0)，,
