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1、莱布尼茨北京大学 孙小礼中国科学院自然科学史研究所 张祖贵莱布尼茨，GW(Leibniz，Gottfried Wilhelm)1646 年 7月 1日(儒略历，1646年 6月 21日)生于德国莱比锡；1716 年 11月 14日卒于德国汉诺威数学、科学、哲学莱布尼茨出身书香门第，父亲弗里德里希莱布尼茨(Frie-drich Leibniz，15971652)是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲凯瑟琳娜施马克(Katherina Schmuck，16211664)出身教授家庭，虔信路德新教父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼茨从小就十分好学他最先是对诗歌和历史有着浓厚的兴趣父亲在他 6岁时
2、去世了，留给他十分丰富的藏书知书达理的母亲担负起儿子的幼年教育莱布尼茨 8岁时入尼古拉学校，学习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑、音乐以及圣诗、路德教义等，对逻辑学很感兴趣他不满足学校所学的内容，充分利用家中的藏书，广泛接触了古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作13 岁时，他就试图改进亚里士多德(Aristotle)的范畴理论1661 年，莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，刚一进校就跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还抓紧时间学习哲学和科学，广泛地阅读了 F培根(Bacon)、J开卜勒(Kepler)、G伽利略(Galileo)等人的著作，并且对前人的著述进行深入的思考和评价1663
3、年 5月，他以题目为“论个体原则方面的形而上学争论”(Disputatio Metaphysica de principio Indiuidui)的论文获学士学位1663 年夏季，莱布尼茨前往耶拿大学，跟随 E魏格尔(Weigel)系统地学习了欧氏几何，使他开始确信毕达哥拉斯-柏拉图(Pythagoras-Plato)宇宙观：宇宙是一个由数学和逻辑原则所统率的和谐的整体1664 年 1月，莱布尼茨写出论文“论法学之艰难”(Specimendifficultatis in lure)，获哲学硕士学位是年 2月 12日，他 18岁时母亲去世了他一生在思想、性格方面受母亲影响颇深从 1665年开始，
4、莱比锡大学审查他提交的博士论文“论身份”(De Conditionibus)，但 1666年以他太年轻(年仅 20岁)为由而拒绝授予他法学博士学位对此他很气愤，毅然离开莱比锡前往纽伦堡附近的阿尔特多夫大学，并立即向学校提交了早已准备好的那篇博士论文，1667年 2月该大学授予他法学博士学位，还聘请他为法学教授但是他拒绝了，决心投身到外部世界，去干更有意义的事情莱布尼茨在纽伦堡加入了一个炼金术士团体1667 年，通过该团体结识了政界人物博因堡男爵约翰克里斯蒂安(Johann Choristian，Freiherr Von Boyneburg，16221672)，并经男爵推荐给迈因茨选帝侯 JD冯
5、舍恩博恩(von Sch nborn)，从此莱布尼茨登上了政治舞台1669 年，通过阅读英国皇家学会会刊(Philosophical Tran-sactions)，莱布尼茨了解到 CU惠更斯(Huygens)正在与别人讨论有关碰撞问题，促使他开始思考自然哲学问题从 1671年开始，莱布尼茨利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界情况、与人进行思想交流的一种主要方式从这一年起，他与英国皇家学会秘书亨利奥顿伯格(Henry Oldenburg)，以及巴黎科学院的著名学者们书信往来长达几十年16711672 年冬季，莱布尼茨受迈因茨选帝侯之托着手准备制止法国进攻德国的计划1672
6、年，他作为一名外交官出使巴黎想游说法国国王路易十四(Louis XIV，Le Grand)放弃进攻，却始终未能与法王见面，这次外交活动以失败而告终但是，在 16721676年留居巴黎期间，莱布尼茨却开始了自己的学术生涯当时巴黎是欧洲科学文化中心他学习了法语，结识了科学界、哲学界的许多著名人士，使他的思想、行动开始越出德国而走向世界他一生中的许多科学成就和科学思想，如微积分等等，都是在这一时期取得或萌发的1673 年 1月，为了促进英国与荷兰之间的和解，他前往伦敦进行斡旋，未果但他却趁机与英国学术界知名学者建立了联系他见到了已通信三年的奥顿伯格，结识了 R胡克(Hooke)、R玻意耳(Boyle
7、)等人1673 年 3月回到巴黎，4 月即被推荐为英国皇家学会会员这一时期，他的兴趣越来越明显地朝向数学和自然科学1673 年 2月，他的保护人和挚友冯舍恩博恩去世，使莱布尼茨失去了职位和薪金，仅仅是一位家庭教师了，当时年仅 28岁他曾多方设法谋求外交官职位或在法国科学院谋职，都没有成功因此只好接受汉诺威公爵约翰弗里德里希(Johann Friedrich)的邀请，离开巴黎前往汉诺威莱布尼茨于 1676年 10月 4日离开巴黎，先在伦敦短暂停留，继而前往荷兰见到了 AU列文虎克(Leeuwenhoek)列文虎克使用显微镜第一次观察了细菌、原生动物和精子，这些对莱布尼茨的哲学思想曾经产生了影响他
8、于 11月底抵达汉诺威，担任不伦瑞克公爵府法律顾问兼图书馆长汉诺威成了他的永久居住地在汉诺威定居后，莱布尼茨广泛地研究哲学和各种科学、技术问题他的哲学思想逐渐走向成熟，同时也从事多方面的学术文化和社会政治活动不久他就成为宫庭议员，在社会上开始声名显赫，生活也由此而富裕1682 年，与 O门克(Mencke)创办拉丁文科学杂志教师学报(又译学术记事)(Acta eruditorum lip-siensium，16821732)他的数学、哲学文章大都在该杂志刊登1679 年，不伦瑞克公爵约翰弗里德里希突然去世，其弟奥古斯特(Ernestus Augustus)继任爵位，莱布尼茨仍保留原职新公爵夫人
9、苏菲(CUHSophie)是他的哲学学说的崇拜者，“世界上没有两片完全相同的树叶”，这一名言就出自他与苏菲的谈话新公爵聘请他编写不伦瑞克家族的历史为了从事这一工作，他在欧洲作了广泛的学术旅行1687 年，莱布尼茨离开汉诺威外出旅行1688 年 5月抵达维也纳，拜见了奥地利皇帝利奥波德一世(Leopold )，他为皇帝构画出的一系列经济、科学规划，给皇帝留下了深刻印象他试图在奥地利宫庭中谋一职位，但直到 1713年才得到肯定答复，而他请求奥地利建立一个“世界图书馆”的计划则始终未能实现随后他前往威尼斯，然后抵达罗马在罗马，他被选为罗马科学与数学科学院成员1690 年 3月左右回到汉诺威，由于撰写
10、不伦瑞克史料的功绩，他获取了枢密顾问宫职务在 1700年世纪转变时期，莱布尼茨热心地从事于科学院的筹划、建设事务他竭力提倡集中人才研究学术、文化和工程技术，从而更好地安排社会生产，指导国家建设从 1695年起，他就一直为在柏林建立科学院而四处奔波，1698 年为此亲往柏林1700 年当他第二次访问柏林时，终于得到了弗里德里希一世(Friedrich，17011713 年在位)，特别是其妻子(汉诺威奥古斯特公爵之女)的赞助，建立了柏林科学院，他出任首任院长1700 年 2月，他被选为法国科学院院士1713 年初，维也纳皇帝授予他帝国顾问的职位，并封他为男爵，邀请他指导建立科学院俄国的彼得大帝(P
11、eter I， The Great)也在17111716年几次听取了他关于建立科学院的建议，并于 1712年给予他一个有薪水的数学和科学宫庭顾问的职务1712 年左右，他被维也纳、不伦瑞克纽伦堡、柏林、维也纳和彼得堡五个王室所雇用他一有机会总是鼓吹他的编写百科全书、建立科学院以及利用技术改造社会的计划后来维也纳科学院、彼得堡科学院先后都建立起来了传说他还曾写信建议康熙皇帝在北京建立科学院汉诺威公爵奥古斯特选帝侯 1698年去世后，继任的公爵乔治路德(George Ludwig，16601727，即后来的英王乔治一世)对莱布尼茨不甚信任，使他在各个王室包括在汉诺威都开始遭受冷遇1714 年，当听
12、到乔治路德成为英国国王的消息后，68 岁高龄的莱布尼茨于 9月 14日从外地回到了汉诺威但三天前乔治路德已经作为乔治一世国王前往英国了他请求在伦敦宫庭谋一历史学家的职位，却被乔治一世拒绝他忧心忡忡，处境每况愈下，晚年凄惨悲凉1716年夏，乔治一世访问汉诺威时，曾同他一起渡假，这给了他少许安慰1716 年 11月 14日，由于痛风和胆结石症引起腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨离开了人世，终年 70岁数 学微积分 1666 年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列0，1，4，9 16，的性质，例如它的第一阶差为1，3，5，7，第二阶差则恒等于2，2，2，
13、等他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等同时他还发现，如果原来的序列是从 0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前 5项的第一阶差之和为 135 +7=16，即序列的第 5项他用 X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列1672 年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，)倒数的级数之和莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的：初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣通过
14、惠更斯，他了解到 B卡瓦列里(Cavalieri)、I巴罗(Barrow)、B帕斯卡(Pascal)、J沃利斯(Wallis)的工作于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题1674 年，他学习 R笛卡儿(Descartes)几何学，同时对代数性发生了兴趣这一时期，他检索了已有的数学文献对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上，他建立了由 dx，dy 和 PQ(弦)组成的特征三角形其中dx，dy 的
15、意义是这样的：在他 1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用 dx表示相邻的序数之差，dy 表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干 dx，dy，于是过渡到了任意函数的 dx，dy特征三角形的两条边就是任意函数的 dx，dy；而 PQ 则是“P 和 Q 之间的曲线，而且是 T点的切线的一部分”如图 1，T 是曲线 y=f(x)上的一点，dx，dy 分别是横坐标、纵坐标的差值利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题：(1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比通过考虑图 1中PQR 和STU，发现PQRSTU，从而有 dy/dx=Tu/Su也就是说，曲线 y上过 T点的切线的斜率是dy/dx(2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论用他自己的话说就是，从特征三角形出发，“毫不费力，我确立了无数的定理”根据莱布尼茨留下的遗稿可以判定，他是在 1673年建立起特征三角形思想的他将图 1中特征三角形的斜边 PQ用“dS”表示，这样特征三角形又称为微分三角形(differential triangle)如图 2，其中 ds2=dx2+dy2利用特征三角形，莱布尼茨早在 1673年就通过积分变换，得到了平面曲线的面积公式这一公式是从几何图形中推导出来的，经常被他用来求面积16
