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1、编号 学 士 学 位 论 文关于积分上限函数的主要性质及其应用学生姓名： 艾合买提黑力力 学 号： 20040101010 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2004-3 班 指导教师： 木台力甫努尔 完成日期： 2009 年 5 月 22 日 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS1中文摘要积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入讨论了特性，并用于解决一些微积分问题，并且得到了相应的比较好的结论。本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数，求极限，证明单调性，连续性，证明不等式和恒等式，证明
2、积分中值定理，定义有关函数等方面的一些应用。关键词：积分上限函数；性质；定积分；连续。 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS2目录中文摘要 .1引言 .11.积分上限函数的性质 .1定理 1.1.1定理 1.2.2定理 1.3.3定理 1.4.3定理 1.5.5定理 1.6.62. 积分上限函数的应用 .62.1 积分上限函数在求导数中的应用 .62.2 积分上限函数在极限中的应用 .72.3 积分上限函数在单调性的应用 .82.4 积分上限函数在函数关系中的应用 .92.5 在讨论函数连续性方面的应用 .112.6 证明方程根的应用 .112.7 积分上限函数在证明等式题
3、中的应用 .122.8 积分上限函数在计算重积分中的应用 .132.9 积分上限函数在证明不等式题中的应用 .142.10 积分上限函数在求解函数方程的应用 .152.11 积分上限函数在证明恒等式题中的应用 .162.12 积分上限函数在证明中值定理中的应用 .17总结 .19参考文献 .20致谢 .21 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS1引言积分上限函数问题是教学和实际生活中有特殊位置，一方面比较简单，另一方面它包括很多实际问题，有着非常广泛的应用。在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿莱布尼兹公式，引进积分上限函数的概念。本文讨论此函数导数的存在性，周期性；并讨论
4、了它在求导数，求极限，证明单调性及连续性，证明积分中值定理，证明不等式和恒等式，定义有关函数等方面的一些应用。在“数学分析”中，学过积分上限函数及其简单的性质。定义：设函数 在区间 可积，则对fx,ab于每一个取定的 ，对应唯一个积分值，,即 ,xaftdab称为函数 的积分上限函数。f积分上限函数有明显的几何意义：设 有 ，则积分上限,xab0fx函数 是区间 上的atd,ax区边梯形的面积。如图（1）的阴影部分。1.积分上限函数的性质定理 1.1 如果函数 在 上是可积，则积分上限函数fx,ab在区间 连续。xaFftd,证明： 00,bxxy 图图1图y=f(x)x bao 学 士 学
5、位 论 文BACHELOR S THESIS2。0000xxxaaFxxFftdftftd又由已知条件， 在 上有界，f,b即 ，有 。,MxafxM000 .x xxFtdftdtMx ，令 ，x即 ，当 时，有 ，0,00F即 。limxF在 上连续。xaftd0,ab由 在 上的任意性， 在 上连续。0x,bFx定理 1.2 若函数 在区间 连续，则积分上限函数f,xaftd在 有连续的导数，且 ， 即积分上限函数 是被积函数,abf x的一个原函数。fx证明：设 ，取 ，使 则有,xabx,xabxaftdftftd已知函数 在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点 ,使fx c=
6、baft()fcba取 ， （ ）,cx01 学 士 学 位 论 文BACHELOR S THESIS3则 ，或xfxxfx又由函数 在 的连续性，有f,ab0 0limlimx xfxfx即 ， 。xf,ab由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的联系。在区间 上的连续函数 存在原函数，而积分上限函数 就是,abfx x的一个原函数。fx定理 1.3 设函数 在 上可积，则积分上限函数fx,ab为满足 Lipschitz 条件的函数。特别地， 在 上一致xaftd x,ab连续。证明：已知 在 上可积，由可积的必要条件， 在 上必有fx,abf,界，即 ，有 ，则得到0,M12,fxMxab对 ，有 12,x。12221112xxxxaaftdftftdftdMx在 上满足 Lipschitz 条件。,b另一方面，由定理 1.1， 在 连续xaft,b在 一致连续
