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1、6. 2 算术平均数与几何平均数一、教学目标（一）知识目标：（1）学会推导并掌握两个正数算术平均数不小于几何平均数这一定理；（2）理解定理的几何意义；（3）能够应用定理证明不等式；（二）情感态度目标：提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力。二、教学重、难点（1）教学重点：均值不等式证明及利用均值定理解决最值问题。（2）教学难点：等号成立的条件。三、教具准备黑板、粉笔四、教学过程（一）复习引入上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾.定理 1：如果 ab，那么 bb( 对称性 )即：ab bb定理 2：如果 ab，且 bc，那么 ac(传
2、递性)即 ab，bc ac定理 3：如果 ab，那么 a+cb+c即 ab a+cb+c推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d(相加法则) 即 ab， cd a+cb+d定理 4：如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 cb 0，且 cd0，那么 acbd(相乘法则)推论 2 若 0,(1nabNn则 且定理 5 若 )b则 且由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式（二）讲授新课1重要不等式：如果 )(2R,2 号时 取当 且 仅 当那 么 babaa证明： 2)(bbbaabDDA BC当 22,()0,()0,abab时 当 时所以， ，即.(2由上面的结论，我们
3、又可得到2定理：如果 a,b 是正数，那么 ).(号时 取当 且 仅 当 baab证明： ,2)(2ba， 即b显然，当且仅当 ab2,时说明：）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此定理又可ba,2为,为叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。这里我们把算术平均数与几何平均数之间的不等关系式称为均值不等式（亦称重要不等式或基本不等式） ，把这个定理叫做均值定理） 成立的条件是不同的：前者只要求 a,b 都是实数，而abab22和后者要求 a,b 都是正数 奎 屯王 新 敞新 疆） “当且仅当”的含义是充要条件 奎 屯王 新 敞新 疆3均值定理的几何解释 奎 屯王 新 敞
4、新 疆以长为 a+b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C， 使 AC=a,CB=b 奎 屯王 新 敞新 疆 过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD,那么 ，即BAD2 bD这个圆的半径为 ，显然，它不小于 CD，即 ，其中当且仅当点 C 与圆2ab心重合；即 a=b 时，等号成立所以，均值不等式的意义是：半径不小于半弦(三).例题讲解例 1 已知 x,y 都是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 ;2P（2）如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时，积 xy 有最大值 .41S证明：因为 x,y 都是正数，所以 2（1）积 xy
5、为定值 P 时，有 PPyx2上式当 时，取“=”号，因此，当 时，和 有最小值 奎 屯王 新 敞新 疆yx2（2）和 x+y 为定值 S 时，有 ,2Sxy214xyS上式当 x=y 时取“= ”号，因此，当 x=y 时，积 xy 有最大值 奎 屯王 新 敞新 疆2说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在 奎 屯王 新 敞新 疆归纳：用均值不等式求最值必需满足一正二定三相等。例 2、 已知：（ a b） （ x y）2（ ay bx） ，求证： 2yxba分析：本题结论中，注意
6、 互为倒数，它们的积为 1，可利用公式ba与a b2 ，但要注意条件 a、 b 为正数 奎 屯王 新 敞新 疆 故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题 奎 屯王 新 敞新 疆yx与证明：（ a b） （ x y）2（ ay bx） ax ay bx by2 ay2 bx ax ay by bx0（ ax bx）（ ay by）0（ a b） （ x y）0，即 a b 与 x y 同号 均为正数与 2yxbayxba2(当且仅当 时取“”号) 2 奎 屯王 新 敞新 疆yxba（四）课堂练习：1、求证： )1(20logxxx2、比较大小 ？3、若 x-1,则 x 为何值时, 有最小值,最小值为几？1x4、已知 x、 y 都是正数，求证：(1) 2；(2)（ x y） （ x2 y2） （ x3 y3） x3y3 奎 屯王 新 敞新 疆（五）课堂小结本节课，我们学习了重要不等式 a2 b22 ab；两正数 a、 b 的算术平均数（ ） ，几何2ba平均数（ ）及它们的关系（ ） 奎 屯王 新 敞新 疆 并会应用它证明一些不等式，但是在应ab用时，应注意定理的适用条件。（六）布置作业习题 6.2 1，2，3，4
