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1、文件 sxglija 0005.doc科目 数学年级 高中章节 关键词 棱柱 /棱锥/ 棱台标题 棱柱、棱锥、棱台复习课内容棱柱、棱锥、棱台复习课北京二十五中 董建钢教学目标1.理解棱柱(斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体等 )、棱锥(一般棱锥、正棱锥)、棱台(一般棱台、正棱台)的有关概念；2.理解并掌握棱柱、棱锥的一般性质，掌握正棱柱、正棱锥、正棱台( 尤其是正方体、正四面体)的性质；3.能够运用直线与平面的有关知识分析、论证多面体中的线面关系，并能熟练的进行有关棱柱、棱锥、棱台中侧棱、高、斜高、侧棱与底面、侧棱与侧棱、侧面与底面所成角的有关计算；4.掌握棱柱、棱锥、棱台的侧面积与全面积的计
2、算；5.会解决棱柱、棱锥、棱台的对角面和平行于底面的截面等有关问题，能熟练的解决其各种截面中直角三角形的有关计算，能有意识地将立体几何的计算问题转化为平面几何图形中的有关计算.教学重点和难点重点是能够熟练的将直线与平面的有关知识运用于棱柱、棱锥、棱台几何体中.难点是将立体几何的有关计算转化为平面几何图形中的有关计算.教学设计过程一、复习提问(用投影仪出示下列命题)例 1 回答下列命题中条件是结论的什么条件( 要求用充分非必要、必要非充分、充要条件作答)(1)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(2)底面是正多边形的棱锥是正棱锥.(3)底面是正多边形的棱台是正棱台.(4)有两个面平行且是相似的多边形
3、，其余各个面都是等腰梯形的几何体是棱台.(该例题重点是检查学生对所学过的这三种几何体基本概念的理解与认识.故需找四名程度较差的学生作答)讲评.(1)必要非充分条件.因这两个侧面可以是相对的两个侧面.(2)必要非充分条件.因正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.(3)必要非充分条件.因正棱台的侧面是全等的等腰梯形.(4)必要非充分条件.因棱台的各条侧棱相交于一点.例 2 集合 A=斜棱柱，B=直棱柱，C=正棱柱， D=长方体.下面命题中正确的是( ).(A)C B D (B)AC=棱柱 (C)CD=正棱柱 (D)B D (该例题重点是检查学生对所涉及到的这几个集合与集合中元素的理解与认识，所以在分析问
4、题时只要用韦恩图把这几个集合间的关系清楚地表示出来即可找到正确的答案 C，如图 1)二、应用举例例 3 一个斜三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 5 的正三角形，侧棱长为 4.若其中一侧棱与底面三角形的两边都成 45角，求这个三棱柱的侧面积.师:请学生们回答在求棱柱的侧面积时，我们首先想什么?生:形状.(即是什么样的棱柱，是直棱柱还是斜棱柱 )师:考虑完形状后干什么?生:找计算方法.若是直棱柱，利用公式 S 侧=CL(其中 C 是底面周长，l 为棱长)直接计算.侧若是斜棱柱，利用公式 S =C 直 L(C 直 是直截面的周长， l 是棱长)求其侧面积.此外还可以侧求各侧面面积之和.师:
5、下面我们按照上述两种方法分别计算这个棱柱的侧面积.解法一:如图 3，作 A1H平面 ABC 于 H.因为A 1AB=A 1AC，易证点 H 在BAC 的平分线上. 又 ABC 是正三角形.所以 AHBC.由三垂线定理有 BCA 1A，又 A1AB 1B，因此 BCB 1B.故侧面 B1BCC1是矩形.所以 S =254sin45+54侧=20 +20.2解法二:如图 4，作 BEA1A 于点 E，连接 CE.则易证 ABEACE.所以 CEA 1A.所以 A1A截面 BCE，故截面 BCE 为棱柱的直截面.BE=CE= .所以所求侧面积为 S 侧 =CBCE A1A=20 +20.25 2例
6、4 已知正三棱锥 S ABC 的底面边长为 a，侧面与底面所成的二面角为 60，求它的高、侧棱长及相邻两侧面所成的二面角大小.师:正三棱锥有什么特征.生:顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心.(即内心、外心、重心、垂心)师:由此我们得知:这个正棱锥的高为顶点到底面射影的连线，故解决问题的关键是设出该棱锥的底面中心.解:如图.设点 O 为顶点在底面上的射影 .因该棱锥为正三棱锥，所以 O 为底面正三角形的中心.连接 SO、CO 并延长 CO 交 AB 于 D，连接 SD，则 CDAB 于 D，SDAB 于 D.(三垂线定理)所以SDC 是侧面 SAB 与底面 ABC 所成二面角的平面角，即SD
7、O=60.因为 ABC 是正三角形，且 AB=a.因此 CD= a,CO= A.63故 SO=ODtg60= a.21SC= = a.2OCS6作 BESC 于 E，连接 AE，显然 ACE BCE，有 AESC，故AEB 是三棱锥 S-ABC 相邻两侧面所成二面角的平面角.因为 SD= = a,BECS=SDAB，0cosD3因此 BE=AE= ，aSCAB72所以 cosAEB= .812EAB所以该三棱锥 S-ABC 的高为 ，侧棱长为 a，相邻两侧面所成的二面角为 arccos681.讲评:一个三棱锥只要知道两个独立的条件，即两个独立的量( 如此例中底面边长及侧面与底面所成的二面角 6
8、0)，就可以求出其它的各个量，计算中充分利用正棱锥的性质、通过高、侧棱、侧棱在底面上的射影所组成的直角三角形、以及高、斜高及斜高在底面上的射影所组成的直角三角形、沟通了正棱锥的高、侧棱、斜高、底面的边长之间的关系，从而也沟通了立体图形向平面图形转化的桥梁，体现了化归与转化的基本思想.例 5 正三棱台 A1B1C1-ABC 的侧面与底面成 45角，求侧棱与底面所成角的正切值.师；正棱台是什么样的图形?它是怎样形成的?生:上下底面是相似的正多边形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧棱相交于一点.正棱台是由正棱锥被平行于底面的截面截得的.师:通过上面的分析，解决该问题通常有两种方法. 其一是从图形特征来
9、解.( 见解法一)其二是由锥、台之间的关系来解!称之为“还台为锥”.解法一:如图 7，设 O1，O 为上下底面正三角形的中心，连接 O1O，A 1O1交 A1B1于 D1，AO 交 AB于 D.连接 D1D.易证 A1O1B 1C1，ADBC，D 1DBC，过 A1，D 1分别作 A1E底面 ABC，D 1F底面 ABC，易证 E、F 在 AD 上.因为正三棱台 A1B1C1-ABC 的侧面与底面的 45的二面角，所以D 1DA45.因此 A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为 a,b,则 AD= b,A1D1= a.23所以 A1E=O1O=D1F=FD= b- a= (
10、b-a).32136AE= B- a= (b-a).32所以 tgA 1AE= = .E2解法二:如图 8，延长 AA1，BB 1，CC 1，则 AA1，BB 1，CC 1相交于一点 S.显然点 S 在 DD1的延长线上.由解法一得知，SDA 为二面角 S-BC-A 的平面角，故SDA=45 .所以 在 RtSOD 中，SO=OD，因为 AO=2OD，所以 tgSAO= = = .AOSD2讲评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质解决棱台问题时是一种快捷方便的方法.三、课堂练习练习 1 正三棱锥的高为 h，侧面与底面成 60的二面角，求它们全面积.解:如图 9，作三
11、棱锥 V-ABC 的高 VO，过 VA 和 VO 的平面交底面 ABC 于 AD，交侧面 VBC 于 VD.因为 O 是底面正三角形的中心，所以AD BC.因此由三垂线定理得 VDBC.故VDA 就是侧面与底面所成角的二面角的平面角，即 VDA=60.所以在 RtVOD 中，有 OD=VOctg60= h,VD=2DO= h.332又在 RtABD 中，有 AD=3OD= 3h，AB=AD CSC60=2h，所以 S 全 =S 底 +S 侧 = AB sin 60+ (3AB)VD= (2h) + 6h212121212h=3 h .3讲评:抓住 O 是底面正多边形的中心这个关键，由已知元素
12、h，(侧面与底面所成的二面角)通过解直角三角形求出其它元素，最后代入面积公式进行计算.例 2 正三棱锥 V-ABC 的底面边长和高都是 4，它的内接正三棱柱的侧面是正方形，求棱柱上底面 A1B1C1截棱锥所得的三棱台 ABC-A1B1的面积略解: 如图 10 设棱长为 x,则 O1O=x，A 1O1= x.3因为 A1O1AO=VO 1VO，所以 x=2.因此棱台的斜高为 ，上底面边长为 2，所以652=3 (2+4) =78.1CBAS三 棱 台 65四、小结深刻理解棱柱、棱锥、棱台的基本概念和各元素之间的关系，对于特殊的柱、锥、台中计算、证明问题需借助“立体几何”第一章中有关线面，面面间关
13、系以及涉及的几何体本身的性质和定义来解决，对于平行于底面的截面性质定理及其应用，必须注意各元素间的关系以及棱锥中特征直角三角形的利用.它们是将空间中的问题转化为平面图形问题的桥梁.关于棱台的截面问题通常是“还台为锥”，利用棱锥的截面性质来解决，同时还要注意利用公式及棱台中特征直角三角形和直角梯形.它们是联系关系式中未知量与题目中所给几何图形中的元素间关系的纽带.五、作业(1)斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AC=10cm ，BC=12cm,A 1到 A，B，C 三点的距离相等，AA 1=13cm,求斜三棱柱的全面积.(2)如图 11，正四棱锥的棱长均为 a，(I)求侧面与底面所成角的大
14、小；() 求相邻两侧面所成二面角的余弦值.(3)如图 12，棱台上、下底面面积为 a2,b2,过高的两个三等分点作平行于底面的两个截面，求两个截面面积.(4)如图 13，正三棱锥 V-ABC 的底面边长和高都是 4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积.课堂教学设计说明学习完棱柱、棱锥、棱台这几种几何体之后，由于涉及到的基本概念、基础知识较多.它包括了柱、锥、台的性质，同时也包含了第一章学过的所有知识.因此学生们在学习中感到很困难，产生了恐惧心理.为了帮助学生克服困难、克服心理上的压力.本节课从“化归与转化”的思想出发，有机地把所学习过的知识联系起来，循序渐进地将立体几何图形的问题转化为平面几何图形的问题，把多面体中的面面问题转化为线面问题，进一步转化线线问题；将棱台的问题转化为棱锥的问题.从而达到对“化归与转化”这一数学思想的认识与升华.因此本节复习课中将有意识地注意“转化”思想的体现.
