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1、布条缠绕圆形管道的问题摘要：本文通过确定重合点，在已知布条宽度和圆形管道直径的情况下，运用一些简单的几何知识解决了布条与管道轴线的夹角问题。同时，从管道表面积和布条面积相等的角度，在已知管道长度的情况下，求出了布条的长度。同时也考虑到了布条两端的影响。此外，分两种情况考虑了其他形状的管道的布条缠绕问题：布条紧贴于管道缠绕和布条不紧贴贴于管道缠绕。关键词： 重合点 表面积 紧贴1 问题提出用已知宽度的布条缠绕已知直径的圆形管道，布条应紧密排在一起且不能重叠，求布条与管道轴线的夹角。此外，在已知管道长度的情况下，还要求出所需布条的长度。2 模型假设2.1 管道是直的，圆的；2.2 管道粗细一样且足
2、够长；2.3 管道外表面光滑；2.4 带子宽度一样；2.5 包扎时带子没有重叠；2.6 变量限定：带子的宽度W：管道长度L：管道横截面周长C1：管道的直径d：布带与管道的缠绕角度，见图 14 模型建立与求解模型一：夹角 的模型不妨将管道表面展开如图 1，黄色部分为缠绕的布条。由于要求布条完全缠绕于管道上且不重叠，那么 A、B 应该在管道上重合。则 cosdg故 ar模型二：布条长度 的模型L由于布条是完全缠绕于管道上的，且没有重叠，可以从管道表面积和布条面积相等来考虑。 0Sdhl且 ，即 0Sdhl也即 l但由于布条两端都成 弧度，会有所浪费，因此也考虑两端的影响，即多加上图中 AC 段的长
3、度。 2sinAClddg故 所需布条长度为 2AhLl 图 125 模型优化优化一：布条厚度的考虑既然布条厚度为一个影响结果的因素，不妨考虑一下布条的厚度。设布条厚度为 ，圆形管道的横截k面如图 2。布条上表面伸展，下表面收缩，中间的长度不变。那么圆形管道的直径相当于 2kdd故 arcosk22dkhLd优化二：其他形状的管道若管道的横截面是相等的，且布条完全贴于管道上，考虑方向就和圆形管道相同。只需将圆形管道的横截面周长 换为其他形状管道的横截面周长 即dc可。那么 arcos2hL如图 3，布条贴于五角星形状的管道缠绕，那么周长即为五角星的周长设五角星边长为 ，则有x10cx代入 和 的等式计算即可。若布条不是完全贴于管道上的，那么就以布条所缠绕的形状作为周长计算。比如五角星形状的管道，布条不贴于管道缠绕，如图 4。那么计算周长 时就不是计算五角星的周长c图 2图 33了，而是计算布条缠绕所形成的五边形的周长。设五角星角之间的夹角为 ，则有2353cx代入 和 的等式计算即可。L参考文献1 姜启源 数学模型 高等教育出版社2 中科大数学建模站 http:/ 4
