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1、第六节 双曲线,三年13考 高考指数:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；2.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；3.理解数形结合的思想.,1.双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，双曲线的离心率、渐近线或与其他知识结合是高考的热点；2.多以选择题、填空题为主，属中低档题目.,1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离_为一定值；(3)这一定值一定要_两定点的距离.,之差的绝对值,小于,【即时应用】判断下列点的轨迹是否为双曲线.（请在括号内填写“是”或“否”）(1)平面内到点A
2、(0,2)，B(0,-2)距离之差等于2的点的轨迹； ( )(2)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹； ( )(3)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于4的点的轨迹； ( ),(4)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹； ( )(5)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于6的点的轨迹； ( )(6)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹. ( ),【解析】由双曲线的定义可知：(1)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支；(2)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴
3、长为3的双曲线；(3)点的轨迹是以B为端点方向向下的一条射线;（4）点的轨迹是分别以A、B为端点方向向上、下的两条射线；（5）距离之差大于|AB|，所以点的轨迹不存在；(6)距离之差的绝对值大于|AB|，所以点的轨迹不存在.答案：（1）否 (2)是 (3)否 (4)否 (5)否 （6）否,2.双曲线的标准方程和几何性质,【即时应用】(1)思考：双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样的关系?提示:因为离心率 ，所以，离心率越大， 就趋近于+，即两条渐近线所形成的角（双曲线所在的区域）就越大，即双曲线的“张口”就越大；离心率越小即接近1， 就趋近于0，即两条渐近线所形成的角（双曲线所在的区域
4、）就越小，即双曲线的“张口”就越小.,(2)已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_.【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为： ， 所以a2=3，又因为点P到一个焦点的距离为4，所以到另一焦点的距离为4+2 或4-2 .答案：4+2 或4-2,(3)已知双曲线 (a0,b0)的虚轴长为2，焦距为2 ，则双曲线的渐近线方程为_.【解析】依题意知：2b=2，2c=2 ，所以b=1，c= ，a= ，因此，双曲线的渐近线方程为： .答案：,双曲线的定义、标准方程【方法点睛】1.应用双曲线定义的注意事项利用双曲线的定义解题时，要注意以下几点：(1)距离之
5、差的绝对值;（2）2a|F1F2|;（3）双曲线上任意一点与两焦点围成的“焦点三角形”中的数量关系.,双曲线的标准方程(1)当已知双曲线的焦点在x轴上时，其标准方程为 (a0,b0)；当已知双曲线的焦点在y轴上时，其标准方程为 (a0,b0)；(2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 (mn0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(AB 0)，这种形式在解题时更简便；,(3)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=(0)，据其他条件确定的值；(4)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 =（0），
6、据其他条件确定的值.,3.求双曲线标准方程的方法及步骤(1)定义法：根据题设条件得出或已知曲线为双曲线，可直接求出a、b、c，得出双曲线方程；(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程，将题设条件代入方程确定相关系数，最后得出方程.【提醒】用定义法求双曲线方程时，要注意焦点所在坐标轴的位置.,【例1】(1)与双曲线 有相同的渐近线，且过点(-3, )的双曲线方程为_.(2)已知定点A(0,7)，B(0,-7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.【解题指南】(1)先设出双曲线的方程，用待定系数法求解；(2)由椭圆定义得出关于点F的等式，化简后可得出点F的轨迹
7、，进而得出轨迹方程.,【规范解答】(1)因为所求双曲线与 有相同的渐近线，所以设所求双曲线方程为 =（0），又因为双曲线过点(-3, )，所以 =，解得= ，所以所求双曲线方程为： ，即 .答案：,（2）由椭圆的定义知：|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2,所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48,因此所求轨迹方程为: （y0）.,【互动探究】本例(1)中“有相同的渐近线”改为“有相同的焦点”，结果如何？【解析】双曲线 中，c=5，焦点坐标为(-5,0)、(5
8、,0)，又因为所求双曲线与双曲线 有相同的焦点，所以可设双曲线方程为 ,又因为双曲线过点(-3,2 )，所以 ,解得a2=23+4 （舍去）或a2=23-4 ，所以双曲线方程为： .,【反思感悟】1.第一小题有相同渐近线的双曲线方程的设法只有一个参数，再需一个条件即可求解；2.第二小题是借助于椭圆的定义，得出一个等式，再由双曲线的定义得出轨迹为双曲线的一支.,【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长为_.【解析】因为x2-y2=8，所以2a=4 ，由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|=4 ，|
9、QF2|-|QF1|=4 ，所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=8 ,即|PF2|+|QF2|-|PQ|=8 ,又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+8 ,因此,PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+8 .答案：14+8,双曲线的几何性质【方法点睛】1.双曲线的几何性质的关注点双曲线的几何性质从以下三点关注：（1）“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;（2）“四线”：两对称轴（实、虚轴），两渐近线;（3）“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的三角形.,2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)已知双
10、曲线的离心率e求渐近线方程要注意及判断焦点的位置；(2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，若焦点不确定时，m= 或m= ，因此离心率有两种可能.【提醒】双曲线中a、b、c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.,【例2】（1）(2011福建高考）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432，则曲线C的离心率等于( )(A) 或 (B) 或2(C) 或2 (D) 或,（2）(2011天津高考）已知双曲线 （a0,b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（
11、-2，-1），则双曲线的焦距为( )（A）2 （B）2（C）4 （D）4,【解题指南】(1)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线.再由离心率的定义即可求解(2)由交点坐标和抛物线方程可求出p的值，再由双曲线顶点坐标和抛物线的焦点坐标列方程求解.,【规范解答】(1)选A.|PF1|F1F2|PF2|=432，可设|PF1|=4k，|F1F2|=3k，|PF2|=2k，k0,其中|F1F2|=2c=3k，c= .若圆锥曲线C为椭圆，则|PF1|+|PF2|=2a=6k，a=3k，e= .若圆锥曲线C为双曲线，则|PF1|-|PF2|=2a=2k,a=k,e= ,e的取值为 或
12、.,（2）选B.双曲线 的渐近线为y= x，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）得- =-2，即p=4.又 +a=4,a=2,将（-2，-1）代入y= x得b=1,c= ,2c=2 .,【互动探究】在本例(1)中，若圆锥曲线为双曲线且c=6，其他条件不变，求双曲线的焦点到其渐近线的距离.【解析】因为圆锥曲线为双曲线且c=6，又因为|PF1|F1F2|PF2|=432，所以|PF1|=16,|PF2|=8,2a=16-8=8，即a=4,所以b= ,当双曲线的焦点在x轴上时，一个焦点为(6,0)，一条渐近线方程为 x-2y=0，焦点到渐近线的距离为2 ；当双曲线的焦点在y轴
13、上时，一个焦点为(0,6)，一条渐近线方程为2x- y=0，焦点到渐近线的距离为2 .,【反思感悟】1.第一小题首先是讨论曲线的类型，然后再根据相应曲线的定义，求出离心率的值.2.正确写出双曲线的渐近线方程和顶点坐标是解题的关键，要注意双曲线中a、b、c的关系.,【变式备选】双曲线 （a0,b0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且ABBF，则此双曲线的离心率为_.【解析】由题意可知|AB|=c,|AF|=a+c,|BF|= ,ABBF,|AB|2+|BF|2=|AF|2,c2+b2+c2=（a+c）2,化简得b2=ac,c2-a2=ac，两边同时除以a2得e2-e-1=0,解得e= ,又e1,e= .答案：,与双曲线有关的综合问题【方法点睛】 1.直线与双曲线的位置关系判断直线l与双曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+D=0(A、B不同时为0）代入双曲线C的方程F（x,y)=0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程.即 ，消去y后得ax2+bx+c=0.,
