简易逻辑与抽屉原理

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1、www.1230.org 初中数学资源网电子版 试题简易逻辑与抽屉原理教学目标：1. 让同学们学会简单的逻辑推理。2. 学会使用抽屉原理解决实际问题。二. 重点、难点：1. 应用逻辑规律推理。2. 在抽屉原理的应用中如何制造抽屉。教学内容：（一）简单逻辑：通常把只涉及一些相互关联（或依存）条件或关系，极少给出（不直接赋与）数量关系与几何图形的一类非标准（常规）数学问题叫逻辑推理问题，处理这类问题，要从一些关联的条件出发，应用某些数学知识，甚至日常生活常识，依据一定的思维规律（机智灵活、准确敏捷的思考），通过分析、推理、排除不可能情况（剔除不合理成分），然后作出正确的判断。主要依据的逻辑规律：（

2、1）同一律：是指同一东西（对象）。它是什么就是什么，不能模棱两可，亦此亦彼；（2）矛盾律：是指互相对立（矛盾）的事不能都真，二者必有一假（即同一思想不能既真又假）；（3）排中律：是指两个不相容的判断不能都假，二者必有一真（即任何判断或同一思想不能既不真也不假）。逻辑推理问题条件扑朔迷离，层次重叠纷纭，没有一定的定理可以依据，无现成公式可用，无模式可循，靠的是逻辑推理。可画框图、紧抓关系、细抠条件，寻找突破口，穷追到底，层层进逼，以求找到答案。例 1. 有三个箱子分别涂以红、黄、蓝三种颜色，一个苹果放入其中之一，且（1）红箱子上写着：“苹果在这只箱子里”；（2）黄箱子上写着：“苹果不在这只箱子里

3、”；（3）蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子里”。已知（1）、（2）、（3）中只有一句真话，问苹果在哪个箱子里？解：因（1）和（3）是对立的，故二者不能全真，必有一假，又不能都假，必有一真，故而（1）和（3）正好一真一假，但不知哪个为真哪个为假。由于已知真话就一句，这就推导出（2）必为假话。（2）为假话，则苹果一定在黄箱子中。例 2. A、B、C、D 四人对王先生的藏书数目作如下估计：A 说：“王先生有五百本书。 ”B 说：“王先生至少有一千本书。 ”C 说：“王先生的书不到二千本。 ”D 说：“王先生最少有一本书。 ”这四个估计中只有一个是对的，问王先生究竟有多少本书？解：首先，A 说得不对，否

4、则 C、D 说的也就对了，这与已知“只有一句是对的”相矛盾。www.1230.org 初中数学资源网电子版 试题同理，B 说的也不对，否则 D 也说对了。注意 B、C 的估计至少有一个是对的（因 B、C 估计的书数概括了所有非负整数），因而推出 D 说的不对，故 C 说的对。再由已知，推出 D 说的不对。从而知道：王先生一本书也没有。例 3. 四个孩子在操场玩球，忽然传来一阵打破玻璃的声音，老师急忙跑出去查看，发现一扇窗户给打破了。老师问：“一定是你们中一个打破的，是谁？”宝宝：“是可可打破的。”可可：“不是我，是毛毛打破的。”多多：“我没有打破窗户。”毛毛：“可可在说谎。”只有一个小孩讲了实

5、话，他是谁，谁打破玻璃？解：把小孩的话改成“是某人”或“不是某人”，以便找突破口。（1）打破玻璃者是可可。（2）打破玻璃者不是可可，是毛毛。（3）打破玻璃者不是毛毛。（4）打破玻璃者不是多多。显然，“是毛毛”与“不是毛毛”（互相对立）必有一句真话。若是毛毛，则就不是多多，因而可可和多多说得都对（即（2）和（3）对），与所设不符，故可可说谎，毛毛说实话。进而因毛毛讲实话，多多在说谎，可见打破玻璃者是多多。也可这样理解：记命题 A打破玻璃者是可可；记命题 B打破玻璃者是毛毛，不是可可；记命题 C打破玻璃者不是多多；记 命 题 的 否 定 。D()即 有 打 破 窗 者 命 题 真 假 与 命 题

6、T 宝 宝 ABCD 矛 盾 可 可 矛 盾 多 多 符 合 毛 毛 ABCD 矛 盾 由表可知：打碎窗者是多多，只有 D（毛毛）讲实话。例 4. 某参观团根据下列约束条件从 A、B、C、D、E 五个地方选定参观地点：（1）若去 A 地，也必须去 B 地；（2）D、E 两地至少去一地；（3）B、C 两地只去一地；www.1230.org 初中数学资源网电子版 试题（4）C、D 两地都去或都不去；（5）若去 E 地，A、D 两地也必须去。问：参观团最多能去哪几个地方？解：统观约束条件，由（2）知：D 、E 两地为参观重点地方，应从这儿入手分析。若去 E 地，则由（5）也必须去 A 和 D 地，但

7、既去 A 地，由（1）也必须去 B 地；而去 D 地，由（4）也必去 C 地，这样得出去 B、C 二地，与（ 3）抵触，故不能去 E 地。由（2），D、E 两地至少去一地， E 既不能去，故必定去 D 地，去了 D 地，由（4）可知就必须去 C 地，去了 C 地，由（3）就不能去 B 地，不去 B 地，由（1）也就不去 A地。故唯一选择是参观 C、D 二地。例 5. 一个袋中有 10 种型号的袜子（足够多只），为确保从中取出 20 双，至少应取几只？解：因为袜子有 10 个型号，取出 10 只保证不了成一双（同一型号），故先取出 11 只，就可确保得到一双型号相同的袜子。配成一双后，再从袋中取

8、 2 只，又可配成一双，将这种操作重复 19 次，必可配 20 双，故至少应取 11+219=11+38=49 只。说明：这里用了极端性原理，从最不利因素出发分析。一般，一个袋中有 k 种型号的袜子（足够多只），为确保从中取出 n 双，至少应取出(k+1)+2(n-1)=2n+k-1 只例 6. 学校进行了一次考试，考试的科目是语文、历史、数学、物理和英语，每科满分为5 分，其余等级依次是 4、3、2、1 分。今已知按总分由多到少排列着五名学生，A、B、C 、D、E 满足下列条件：（1）在同一科目中以及在总分数中没有得同样分数的人；（2）A 的总分是 24 分；（3）C 有四门得了相同的分数；

9、（4）E 语文得 3 分，物理得 5 分；（5）D 的历史得 4 分。试求题目中未直接给出的各人其它各科的成绩？解：先从五人的总分入手，再扣掉 A 的得分，得出 B、C、D、E 四人的总分，再从得分最低的 E 出发进行推断，即可逐步得出结果。（1）由已知可得 5 人的总分为 5(1+2+3+4+5)=75 分。因 A 得 24 分，故 B、C、D、E 共得 7524=51 分又 E 两科得 8 分，故 E（还有三科）至少得 11 分稍加验算可知：B、C、D 、E 的得分情况应该是 15、13、12、11。（2）E 两科 8 分，总分 11 分，因而 E 的英语、历史、数学各得 1 分。（3）A

10、 的总分是 24 分，故只有一科得 4 分，其它各科均是 5 分，因 E 的物理得 4 分，故语文、历史、数学、英语各五分。（4）C 的总分为 13 分，且有四科得分相同，故得分情况只能是一科五分，四科各 2分或一科 1 分，四科各 3 分。因 5 分为 A、E 所得，则 C 的四科各得 3 分，一科得 1 分，又因 E 语文得 3 分，故 C 语文得 1 分，其余各科得 3 分。（5）D 的总分是 12 分，历史得 4 分，余下 8 分，因全部 5 分为 A、E 所得，全部 3分为 C、E 所得，四个 1 分为 C、E 所得，故除历史外， D 的其它各科各得 2 分。www.1230.org

11、 初中数学资源网电子版 试题显然，B 的语文、数学、英语皆得 4 分，历史 2 分，物理 1 分。（二）抽屉原则：1. 什么是抽屉原则：现实生活中会遇到这样的问题：买回 3 本书，全部放入 2 个抽屉中，如果规定每个抽屉至少有一本书，则肯定有一个抽屉放入 2 本书；四个苹果放入 3 个盘子中，则至少有一个盘子中至少放 2 个或更多苹果；一年有 53 个星期，班上有 54 个同学，则肯定至少有 2个同学的生日在同一星期。以上这些数学问题，并没有指明谁装多少，谁和谁同生日，但却可以肯定某种客观事实，解决上述这种客观存在性问题的数学方法，通常称之为抽屉原则。抽屉原则：把 n+1（n 是自然数）个物体

12、，按照任何方式放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉放入了两个或更多的物体。例 1. 任意给出 3 个自然数，证明其中一定有两个数之和能被 2 整除。证明：我们把“奇数”和“偶数”各看成一个抽屉，把 3 个自然数按奇、偶性分别放入各自的抽屉，由抽屉原则可知必有一个抽屉放入 2 个自然数，取这两个自然数，要么同是奇数，要么同是偶数，它们的和一定是偶数，故能被 2 整除。例 2. 班上有 54 位同学，证明至少有两位同学的生日是在同一个星期。证明：一年有 365 天，划分为 53 个星期，把每个星期看成一个抽屉，共 53 个抽屉，54 位同学的生日，对应放入各自所在的抽屉中，由抽屉原则，至少有一个

13、抽屉有两个或更多同学的生日，也就是他们的生日在同一个星期。2. 抽屉原则的解题思路：（1）认真领会题意，分析条件和要得到的结论，确定把什么条件看成是“抽屉”，把什么条件看成是“物体”。（2）设计抽屉，设计好抽屉是解决这类数学问题的关键，抽屉的设计涉及很多数学知识，要抓住主要的基本关系进行分类，设计抽屉的性质和个数。（3）应用抽屉原则得到必要的结论，再综合其它数学知识，解决具体问题。例 3. 任取 11 个自然数，那么，其中至少有 2 个数的差是 10 的倍数。证明：我们按个位数是 0、1、2、39 设计 10 个抽屉。把这 11 个自然数按个位数的数字对应放入这 10 个抽屉中，由抽屉原则，至

14、少有一个抽屉有两个或更多的数，那么这两个数字之差就是 10 的倍数。本课小结：1. 本课主要讲解了关于逻辑推理和抽屉原则的相关知识，这部分知识课本上没有，但希望同学们能熟悉。2. 本课的主要目的是开拓同学们的视野，理解数学并非全是课本上那些类别的知识，从而提高数学学习的积极性。【模拟试题】1. A、B、C 三名勘探队员在野外作业取得一块矿样：A 判断：这不是铁，也不是锰；B 判断：这不是铁，而是锡；C 判断：这不是锡，而是铁。后经化验证明：一人判断全部正确，一人判断全部错误，另一人一对一错，问矿样是www.1230.org 初中数学资源网电子版 试题什么？2. 某学生在暑假观察了 x 天的天气

15、情况，结果是：（1）共有 7 个上午是晴天；（2）共有 5 个下午是晴天；（3）共下了 8 次雨，在上午或下午；（4）下午下雨那天，上午是晴天。则 x 等于多少天？3. 一个袋中放有 100 个小球，其中 28 个红球，20 个绿球，12 个黄球，20 个蓝球，10个白球，10 个黑球，问应从袋中摸出最少多少只小球，才能确保有 15 个同色的？4. 某次数学竞赛 A、B、C、D、E 五人得前五名，老师叫他们猜一下名次，结果：A 说：“B 第三，C 第五 ”；B 说：“D 第二，E 第四”；C 说：“A 第一，E 第四”；D 说：“C 第一，B 第二 ”；E 说：“D 第二，A 第三”。老师说每人猜对一半，那么这五人实际名次如何？5. 证明：（1）任取 12 个整数，证明一定有两数之差是 11 的倍数。（2）任取 3 个自然数，证明一定有两个数之和是偶数。【试题答案】1. 矿样是铁2. x=10 且求出全天晴是 2 天3. 最少摸出(10+10+12)+43=75 个球4. B 第二、A 第三、E 第四、C 第五、D 第一5. （1）全体整数被 11 除，余数有 0、1、2、310 共 11 种，这 12 个数按各自的余数的大小，分别放入这 12 个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个数，这两个数的差能被 11整除。（2）三个数中至少有两个同为奇数或者同为偶数，它们之和为偶数。