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1、第四节 基本不等式,三年13考 高考指数:会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.,1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.,1.基本不等式：（1）基本不等式公式成立的条件是_.（2）等号成立的条件是：当且仅当_时取等号.（3）其中 称为正数a,b的_， 称为正数a，b的_.,a0,b0,a=b,算术平均数,几何平均数,【即时应用】判断下列不等式是否正确.（请在括号中填写“”或“”）（1）a2+b22ab(a,bR)( )（2）ab( )2(a，bR)( )（3） (a,bR)( )（4） 2
2、(a,b均不为零)( ),【解析】（1）由（a-b）20得a2+b2-2ab0，即a2+b22ab，故（1）正确.（2）由（1）可知a2+b22ab，即a2+b2+2ab4ab,即(a+b)24ab,即ab( )2,故（2）正确.（3）由= ,故（3）正确.（4）若a,b异号，如a=-1,b=1,则 =-20,且x+2y=1,则 的最小值为_.（3）函数f(x)= 的最大值为_.（4）已知m0,n0且mn81，则m+n的最小值为_.,【解析】（1）由2=x+3y ,得 ,故xy ，等号当且仅当x=1,y= 时取得.（2）由x,y0，x+2y=1得 ，等号成立的条件是：x= .,（3）x0，当x
3、=0时，f(0)=0；当x0时，f(x)= ,当且仅当 ，即x=1时取等号.所以f(x)的最大值为 .（4）m0,n0,mn81, 9,m+n 18，故m+n的最小值为18.答案：（1） （2） （3） （4）18,利用基本不等式求最值【方法点睛】应用基本不等式求最值应注意的问题（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式.（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.（3）若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.,【例1】（1）(2012无锡模拟)若x-3，则 的最小值为_.（2）已知a，b为正实数且a+b=1，则(1+
4、 )(1+ )的最小值为_.【解题指南】（1）将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解.（2）将 与 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.,【规范解答】（1）由x-3得x+30,又 ，等号成立的条件是x+3= ,即x= .（2）a0,b0,a+b=1, ,同理 , 5+4=9,等号成立的条件为a=b= .答案：（1） （2）9,【互动探究】若将本例（1）中x-3去掉，那么 的取值范围又将如何求解？【解析】分情况讨论，由题意得x-3,（1）当x-3时，由例题可知（2）当x0,等号成立的条件是x= .故 的取值范围是（-, ,+).,【反思感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和”
5、与“积”的定值.2.基本不等式求最值，常为有条件最值问题.如本例（2），其关键是充分利用条件转化为可利用基本不等式求最值，并要注意“一正、二定、三相等”.,【变式备选】（1）若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是_（2）求函数y= （x-1）的最小值.【解析】（1）xy=2x+y+6 ,令xy=t2(t0),可得t2- -60，注意到t0，解得t ,故xy的最小值为18.答案：18,（2）设x+1=t,则x=t-1(t0)，y=t+ +5 =9，当且仅当t= 即t=2时,取等号，且此时x=1，ymin=9.,基本不等式的实际应用【方法点睛】基本不等式实际应用题的特点（1）问题的
6、背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解,【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地
7、形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.,【解题指南】（1）由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；（2）先由限制条件确定自变量的范围，然后判断（1）中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.,【规范解答】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为 米.则总造价f(x)=400(2x+ )+2482x+80162=1 296x+ +12 960=1 296（x+ ）+12 9601 296 +12 960=38 880(元)，当且仅当x= (x0),即x=10时取等号.当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，
8、最低总造价为38 880元.,（2）由限制条件知 x16.设g(x)=x+ ( x16),由函数性质易知g(x)在 ，16上是增函数，当x= 时（此时 =16）,g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296( )+12 960=38 882（元）.当长为16米，宽为 米时，总造价最低，为38 882元.,【反思感悟】1.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围，它可直接决定最值能否取到.2.本例（2）中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法.,【变式训练】某种汽车，购车费用为10万元，每年的
9、保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为 万元.,设汽车的年平均费用为y万元，则有当且仅当 ，即x=10时，y取得最小值.答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少.,基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛】基本不等式应用的广泛性以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体提供条件而后转化为基本不等式求最值，是本部分中常见题型，
10、且在高考中也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意范围的变化影响.,【例3】（1）设x,yR，a1,b1，若ax=by=4且a+b= ,则 的最大值为_.（2）已知函数f(x)=log2k(x+4)+2+1恒过一定点P，且点P在直线 (a,bR+)上，则3a+2b的最小值为_.【解题指南】（1）用a,b表示x，y代入后，再利用基本不等式可求.（2）求得P点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不等式求解.,【规范解答】（1）由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,故 =log4a+log4b=log4ab.又a1,b1,a+b= ,故l
11、og4ablog4( )2=log42= , ,等号当且仅当a=b= ,x=y=4时取得.,（2）由函数f(x)=log2k(x+4)+2+1可知，当x=-4时，f(x)=2,即P点坐标为（-4，2），又P在直线 (a,bR+)上，故 ，即 ,3a+2b=(3a+2b)( )= ,等号当且仅当3a2=4b2，即a= ,b= 时取得.答案：（1） （2）,【互动探究】若本例（2）中函数改为f(x)=2k(x+1)+1,其余条件不变，又将如何求解?【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知图象恒过定点P（-1，2），依题意，P在直线上，故 ,即 ,3a+2b=(3a+2b)( )=等号当且仅当 时
12、取得.所以3a+2b的最小值为 .,【反思感悟】与其他章节知识综合的基本不等式题目，其难点在于如何从已知条件中寻找基本关系，本例（1）中其关键是构建x,y与a,b的关系得到x=loga4，y=logb4，从而将 成功转化为a,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例（2）中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.,【变式备选】设x,y满足约束条件 若目标函数z=abx+y(a0,b0)的最大值为8，则a+b的最小值为_.【解析】已知x,y满足约束条件 其可行域是一个四边形，四个顶点是(0,0)，（0，2），( ，0)，（1，4），易见目标函数z=abx+y(a0,b0)在
13、（1，4）取最大值8，所以8=ab+4，即ab=4，a+b =4,当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最小值为4.答案：4,【易错误区】忽视题目的基本含义导致误解 【典例】(2011江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)= 的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.【解题指南】由题目已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式可解.,【规范解答】由题意可知f(x)= 的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P（x, ）与Q(-x, )，由两点间距离公式可得|PQ|=等号当且仅当x2=2时取得.答案：4,
