数理统计在经济学中的应用研究

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1、题 目 数理统计在经济学中的应用研究学生姓名 学号所在学院 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院专业班级 数应 1102指导教师完成地点 陕西理工学院2015 年 5 月 30 日陕西理工学院毕业论文第 1 页 共 8 页数理统计在经济学中的应用研究（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业 1102 班,陕西 汉中 ）指导教师：摘要 利用数学期望、回归分析、中心极限定理等数理统计知识,举例研究如何解决经济预测、利润最大化、风险预测、最优库存量等问题.关键词 数理统计；随机变量；期望 1.引言数理统计研究是分析研究随机现象统计规律的一门数学分支学科，它是伴随着概率论的发展而发展而来

2、的，它可以对所需要考虑的各种问题作出推断或预测，并且为做出某种决策和行动提供依据和建议.数理统计一共分为三个发展阶段，即古典、近代和现代三个时期.我们称 19 世纪以前为古典时期，为描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的初发萌芽阶段.我们现在经常用到的定理很多都是来自这一时期，例如我们现在常用的贝叶斯定理就是来自这一时期，在 1763 年，英国著名数学家贝叶斯开创了数理统计学科的先河，他提出了一种科学的归纳推理理论，后来发展为一种统计推断方法即贝叶斯方法；瑞土著名的数学家贝努里已经很早就论证了著名的大数定律，为数理统计学做出了巨大的贡献.在 1733 年正态分布的密度函数首次被发现，发现者

3、就是法国数学家棣莫佛，他不仅发现该函数，并且计算出了在各种不同区间内该曲线的概率，可以说是为整个大样本理论基础提供了有力的证明.有人曾经预言：统计方法，可应用于各种学科的各个部门，他就是著名德国数学家高斯，他和法国数学家勒让德各自发现了最小二乘法，最小二乘法可谓是经典，不仅如此，他还将之应用于观测数据的误差分析.无论在数理统计的理论中，还是在实际应用中他都做出了巨大的贡献，他不仅能将数理统计应用到教育学、生物学的研究中，还能将其运用到心理学的研究.并且成功的说明了数理统计应用的普遍性.我们称 19 世纪末到 1945 年为数理统计的近代时期，由于概率论的发展已经到达顶峰时期，再加上社会生产中对

4、数理统计的依赖和需求，无可厚非，直接推动数理统计这门学科的迅猛发展，因此这一时期建立了数理统计的主要分支和形成了较为完善的学科.就在 1890 年，频率曲线的理论被著名科学家皮尔逊提出，而他前一年已经提出了矩阵估计法，要知道，在数理统计发展的历史过程中，从未出现小样本分布，而他就在当年提出了一个科学的样本分布.由于大样本检验有时候对目标的研究存在一定的偏差，因此又有人提出了新的研究理论，即小样本检验，有 t 检验法和 t 分布，这为多元统计分析打下了坚实的基础，这个人就是戈塞特，英国著名统计学家.对于好的东西就要推广发展，因此显著性检验和方差检验由此而生，这是一个重要的数理统计学分支，现在很多

5、领域都要用到这个检验，这就是费歇发展的，历史的功臣，数学界的骄傲.就这样，在近代时期，数理统计在众位数学家的努力下，已经成为一门应用广泛的学科.说到现代时期，也就是 1945 年以后，由于计算机技术的发展，数理统计的理论研究和应用不断推进新的层面，新的分支也渐渐发展开来，现在也对统计的精确度、严密性提出了更高的要求，随着数理统计的应用不断进入各种科学研究理论，是现代社会不可或缺的研究科学.由于这门学科的特殊性，它必须以随机现象的实验数据为基础，然后结合概率论的理论对实验对象进行分析研究，总结其规律和特点.因此它的应用非常广泛，无论是实验设计研究还是统计推断都有着数理统计的身影.就像自然科学和管

6、理科学等等都是有深入应用，它是无可替代的.陕西理工学院毕业论文第 2 页 共 8 页毫无疑问数理统计在现代经济学中越来越占据着不可获缺的地位，因为在现如今科技如此迅猛发展和计算机科技普及的社会中，数理统计在科学研究及社会生产中的应用越来越普遍，基本上涉及所有研究领域，各行各业都离不开数理统计知识，就像市场调查、科研结果抽样调查、经济市场数据挖掘、公司未来市场走向决策等，就连普通的微博等互动平台都需要数理统计知识来统计数据规律.因此我国经济学界的各位精英和国家经济领域研究部门也意识到解决实际经济问题中数理统计知识的不可或缺性，因为时下数理统计与经济领域是紧密相关的，一句话，经济领域离不开数理统计

7、知识，无论在多少年以后，数理统计知识依然影响着经济学，目前社会在数学领域的研究已经越来越深入，几乎能研究的基本数学知识已经研究到极限了，因此，在未来的几百年内数理统计知识依然是非常重要的一门学科，依然是不可或缺不可替代的.意识到这一点，我国科学家及数学精英以卓越的眼光很早就已经开始研究如何将数理统计应用到经济领域，来为我国经济的迅速增长做出贡献，为我国实现社会主义经济出了一份巨大的力量，同时也为广大人民群众实现富裕目标给了新的希望和方法，更为世界经济学界作出了伟大的贡献.我们都知道几乎任何一项研究和决策都无法脱离它的实际应用.比如多元分析、风险控制、抽样调查、等等都要用到数理统计的知识.本文将

8、利用数理统计方法解决一些像解决经济预测,最大经济利润,投资的经济损失估算、期望在离散型随机变量的应用等经济问题.2. 在经济领域中的应用2.1 在经济预测中的应用数理统计学对数据有多种研究方法，例如多元回归分析、一元线性回归分析等等，我们就以一元线性回归分析为例来说明一下线性回归分析在经济预测中的应用.因为我们在实际经济运营中，很多时候需要预测未来的经济走势，就像买股票一样，时刻关注该股票未来的跌涨走势，来提前对未来的变化做出行动，为什么能分析出未来的走势，是因为很多数据之间存在某种紧密关系，通过数理统计知识，对往年数据和信息进行分析研究，在对社会经济现象之间存在的某种关系以及变化趋势进行线性

9、回归分析预测,从而总结出未来的数据变化情况.例1 某公司1994年-1998年的产品的销售额（万元）如下：年份 1994 1995 1996 1997 1998销售额y 35 40 40 45 50(1)求该销售额的回归方程（t表示年份）(2)预测该公司在1999年的销售额？解： (1)设一元线性回归方程为 ty1001020304050601993 1994 1995 1996 1997 1998 1999陕西理工学院毕业论文第 3 页 共 8 页用最小二乘法求 ，01 1543215it21005iy5432251 it8625002251iy0543451iiyt105212nitL36

10、01 ytiniy所以，有351203101tyLy所以，一元线性回归方程为 t3(2)通过检验，线性关系显著.(3)因此，要预测该公司在1999年的销售额，即令t=6带入上式，有 516y即该公司在1997年的销售额为51万元.2.2 在求解最大经济利润问题中的应用在现实生活中，商家永远追求的是最大利润.我们可以使用随机变量函数期望解决这个问题.例2 若某车件公司产品分为合格品和不合格品，销售合格品就能够收获利润，而销售不合格品则要亏损，已知该车件的内径 X（mm）服从正态分布 N（ ，1），而且车件内径小于10mm或者大于12mm为不合格品，其余的为合格品，若已知销售利润T与该车件的内径

11、X 有如下关系：陕西理工学院毕业论文第 4 页 共 8 页T=1,02125,x问：该车件的平均内径 取何值时，销售单个车件的平均利润为最大？解： 平均利润5)10(2)1(25 )12()(0)( xPxxPTE)du其中 和 分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数，)(x)(令上式为0，得： 021252)()1(2 ee即 2)10(2)1(5ee解此方程，得 9.1ln因此可知 当 =10.9 mm 时，单个车件的平均利润最大.2.3 在风险决策中的应用 风险是每一位投资者最头痛的事，基本都想尽可能回避风险，因此风险决策诞生了.风险决策是指在多种不确定因素作用下对未来进行决策，由于有

12、不定因素存在，则行动方案的实施结果其损益值是不能预先确定的.利用数理统计对风险数据进行分析研究可以获得风险决策，接下来进行举例分析.例3 若有一笔资金，总数为1万元，如今要投资 A、B 两个公司股票 .若将资金 投资给A股票，1x将剩下的资金 投给B股票，则有 这样一个投资组合.若设X为投资A股票的收益率，21x),(21xY为投资B股票的收益率，它们都是随机变量.现在已知 和 的均值分别为 和 ，方差2（代表风险）分别为 和 ，X和Y的相关系数为 .试求该投资组合的平均收益率与投资风险，为何值时使投资风险最小？1x解：组合收益率为 1211()ZxYxXY平均收益率为 211)()(E该组合

13、的方差为： 211212111 )()( xxYxXDZ 求最小组合的风险，即 D(Z) 关于 的极小值点， 则有陕西理工学院毕业论文第 5 页 共 8 页令 0)(1dxZD解得 2121*它与 无关.D(Z)中 的系数为正，所以 可使组合风险达到最小. 21,21x*x2.4 在经济损失中的应用随着社会主义经济的迅速发展，各种事故风险也逐渐增长，例如车祸，火灾等等，于是买保险成为大家弥补经济损失的一种有效的方法.保险是社会必须存在的，没有保险，无意使社会经济保障迅速降低，同时也是一种经济制度.其目的是补偿事故所造成的损失以确保经济生活安定.下面以中心极限定理说明数理统计在保险风险中的应用.

14、例4 某保险公司开通一年意外交通事故保险业务，被保险人每年需交保险费160元，若一年内发生重大交通事故，其本人或者家属即可获得2万元的保险赔偿金.已知当地人员一年内发生重大交通事故的概率约为0.005，现在有5，000人购买这个保险，问该保险公司一年内从此项业务中收益在20万元到40万元之间的概率为多少?该保险公司在此保险业务中赔本的概率是多少?解：令 X为该市一年发生重大交通事故的人数，发生重大交通事故概率为 ，于是0.5p(5000，0005)，则 ， ,总收益为 B25np(1)24.875pX8216. 由中心极限定理得： 6839.0)25.1()025.1( )875.2430.7

15、43)4( XPPP保险公司亏本的概率013.987)5.().240()6.(XP根据以上计算结果可知，该保险公司一年内从此项业务中能收益在20万元到40万元之间的概率为0.6239，保险公司在该业务中赔本的概率为0.0013.2.5 在经济管理决策中的应用基本上所有的决策都是有风险的，因为决策是对未来行动的一种决定，未来是不可知的，在各种不确定的因素影响下，风险随时会让团队失败，因此必须利用科学的方法来对管理决策进行分析研究，以做出最有效、风险最下的决策.利用数理统计研究方法可以获得合理的决策，从而实现风险最小化、决策最优化这一目标.当然，数理统计是无法直接提供决策的，但是可以为领导者提供

16、最科学最有效的建议，决策者可以根据研究结果做出最有效的决策.在实际商品销售中，有着很多重要的知识，例如著名汽车厂商丰田公司，实现了零库存的销售方法，这使它的利润比一般公司要陕西理工学院毕业论文第 6 页 共 8 页高的一个原因之一，为什么要实现零库存？在实际销售中，因为库存商品占据着大量房屋面积，如果不卖出去，商品库房存放就是一大笔钱，包括库存管理费、保险费、厂房房租等等，但是如果没有产品有时也会导致资源短缺，因此这是一个矛盾的问题，厂家需要在此之间找到一个平衡点，来实现利润最大化，资源分配最优化，下面我们就举例研究.例5 假设某汽车4S店每周的汽车的需求量 X 是服从区间(10，30)上均匀