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1、周期信号的傅里叶分析任意一个周期函数都可展开为傅里叶级数，因此各种波形的周期信号都可分解为一系列不同频率的正弦波。通过实验电路实现周期信号的傅里叶分解与合成，对周期信号进行傅里叶分析，对于深刻理解周期函数的傅里叶展开具有重要意义。1 周期函数的傅里叶展开周期为 的函数 可以展开为三角函数构成的傅里叶级数Tft01cossin2nftawtbt（1.1）周期为 的方波函数（如图 1.1 所示）T(0)2Thtft（1.2）可展开为傅里叶级数1411sinsi3sin5sin7i22nhftttttt L（1.3）h0-T Tf(t)-ht图 1.1 方波信号由此得出，方波信号的基波与各谐波同相位
2、，基波与前三阶谐波频率比为1:3:5:7，振幅比为 。 1:3572 周期信号的傅里叶分解2.1 实验原理用 RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波信号进行频谱分解，在示波器上显示被分解的波形。实验电路如图 2.1 所示，其中 、 是可变的。 取 0.1H。RCL图 2.1 RLC 串联谐振电路当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率 为001LC（2.1）这个响应的频带宽度以 值来表示Q1LQRrC（2.2）其中 为取样电阻， 为电感线圈的电阻及与电容箱相串联的等效损耗电Rr阻之和。当 值较大时，在 附近的频带宽度较狭窄，所以实验中选择 Q 值足Q0够大，大
3、到足够将基波与各次谐波分离出来。调节可变电容 ，在 频率谐振，则会从此周期性波形中选择出这个单C0n元，它的值为： 0()sinVtbt（2.3）这时电阻 两端电压为R00sinRtIt（2.4）此式中 ， X 为串联电路感抗和容抗之和， ， 为串联电路的总1tgR0nbIZ阻抗。在谐振状态时 ，此时，阻抗 ，其中 为0LCLZrRrRr方波电源的内阻； 为取样电阻； 为电感的损耗电阻； 为标准电容的损耗L电阻。 （ 值常因较小忽略）CR通过傅里叶分解合成仪中的 1KHz 的方波来做傅里叶分解实验，其输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。2.2 实验装置实验装置包括：傅里叶分解合成仪；十进式
4、电容箱；0.1H 标准电感；双踪示波器；2.3 实验内容2.3.1 谐振时电容值的测量测量 RLC 串联电路时对 1KHz，3 KHz，5 KHz 正弦波谐振时的电容值 、1C、 ，并与理论值进行比较，结果如表 2.1 所示。方波频率 ，取2C3 0fHz样电阻 ，实验测得信号内阻 ，电感 。7R2r0.1L表 2.12.3.2 方波的分解RLC 串联谐振电路连线图如下：将 1KHz 方波输入到 RLC 串联电路，然后调节电容值至 、 、 附近，1C23从示波器上观测谐振波，测量基波和 n 阶谐波的相对振幅。（1）1KHz 方波输入信号，如图 2.1 所示：谐振频率 1000Hz 3000Hz
5、 5000Hz实验值 0.2498 f0.0279 f0.0100 f理论值 0.253 0.0280 0.0101图 2.1（2）谐振频率 =1KHz， 谐振时电容值 ， 波形如图 2.2 所示 ， 相0f 10.2498Cf对振幅 ，李萨如图形如图 2.3 所示。1.7AV图 2.2 图 2.3（3）谐振频率 , 谐振时电容值 ，波形如图 2.4 所示，03fKHz10.279Cf相对振幅 。李萨如图形如图 2.5 所示。.5AV图 2.4 图 2.5（4）谐振频率 ， 谐振时电容值 ，波形如图 2.6 所示，05fKHz10.Cf相对振幅 。李萨如图形如图 2.7 所示。 .24AV图
6、2.6 图 2.72.3.3 计算并校正相对振幅（1）损耗电阻的测定图 2.8 损耗电阻测量电路用标准电容箱加正弦信号发生器用谐振法测量。接一个如图 2.8 所示的串联谐振电路。测量在谐振状态时，采用外接信号源分别为 1KHz、3 KHz、5 KHz时，信号源输出电压 和取样电阻 两端的电压 ，根据ABVRRV可计算出 的值。ABRLcVrL损耗电阻测量电路连线图如下：rRLCR 不同频率时电感的损耗电阻 为：LR1KHz =3*0.5v=1.5v6.2ABV= r=23, R=27 , 0代入数据 得： =5.83KHz =1.5*0.2v=0.3v3.5ABV= r=23, R=27 ,
7、0代入数据 得： =13 5KHz =0.8*0.2v=0.16v2.3ABV= r=23, R=27 , 0 代入数据 得： =27.625（2）相对振幅的校正采用分压原理校正。设 为谐波校正后的振幅， 为谐波未被校正时的振A/A幅。 为 1KHz 使用频率时的损耗电阻。 为 3KHz 或者 5KHz 使用频率时的损1LRLR耗电阻。则校正公式为： /1:LLArr/1LR校正结果如下：基波 1KHz， = =1.700v谐波 3KHz， = * = 0.500 * =0.565v 13275.8谐波 5KHz， = * = 0.240 * =0.334v 27.632758经过校正后， =
8、 1700 ：565 ：343 1： ： , 与理论值符合较好。3 周期信号的傅里叶合成3.1 实验原理利用傅里叶分解合成仪实现。把四组频率为 1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz的同相位正弦波按振幅 调节好输入到加法器，叠加后形成方波。1:3573.2 实验过程（1）用丽萨如图形反复调节各组移相器使 1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz 正弦波同相位。调节方法是示波器 轴输入 1KHz 正弦波，而 轴输入傅里叶分解合成仪提XY供的 1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz 正弦波，在示波器上显示出如图 3.1 所示波形时，说明基波和各阶谐波初相位相同。同相位 同相位 同相
9、位 同相位输入 1KHz 3 KHz 5 KHz 7 KHzY图 3.1 方波相位调节图（2）调节 1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz 正弦波振幅比为 。1:35（3）将 1KHz,3 KHz,5 KHz,7 KHz 正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化。3.3 实验数据(1)实验调节的波形如下图所示图 3.2 1KHz 的正弦波 图 3.3 3KHz 的正弦波图 3.4 5KHz 的正弦波 图 3.5 7KHz 的正弦波(2)对应的李萨如图如下图所示:图 3.6 1KHz 正弦波对应的李萨如图 图 3.7 3KHz 正弦波对应的李萨如图 图 3.8 5 KHz 正弦波对应的李萨如
10、图 图 3.9 7KHz 正弦波对应的李萨如图(3)1KHz 正弦波与 3KHz 正弦波叠加波形，如图 3.10 所示。图 3.10 1KHz 与 3KHz 正弦波叠加波形（4）1KHz，3 KHz，5 KHz 正弦波叠加波形，如图所示 3.11 所示。图 3.11 1KHz、3KHz、5KHz 正弦波叠加波形（5）1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz 正弦波叠加波形，如图 3.12 所示。 图 3.12 1KHz、3KHz、5KHz、7KHz 正弦波叠加波形3.4 数据分析通过傅里叶分解合成仪将频率为 1KHz、3 KHz、 5 KHz、7 KHz 的正弦波按照一定的相位关系和振幅比进行叠加，能够实现方波的合成。根据实验数据，可以得到以下结论：（1）基波上迭加谐波越多，合成波形越趋近于方波。（2）迭加谐波越多，合成波前沿、后沿越陡直。（3）谐波的振幅逐阶递减，阶数越高，振幅越小。阶数越高的谐波对周期信号的形成影响越小。结束语采用 RLC 选频电路对方波信号进行傅里叶分解，测得基波和各谐波的频率比为 1:3:5:7，振幅比为 ，基波和各谐波同相位。反之，利1:357用傅里叶分解合成仪将满足上述条件的正弦波进行傅里叶叠加，可形成方波。
