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1、 陕西理工学院毕业设计论文基于 Mathematica 函数 StateSpaceModel 的系统分析方法与程序设计（陕西理工学院物理与电信工程学院电子信息科学与技术专业 1103 班，陕西汉中）指导老师：摘要研究调用 Mathematica 内部函数 StateSpaceModel 求解高阶连续时不变系统响应思路与方法步骤。手工和调用 Mathematica 内部函数 NDSolve 求解高阶连续 LTI 系统初值问题都十分困难。我们试图调用Mathematica 内部函数 StateSpaceModel 及其相关函数，采用建模方法来求连续 LTI 系统初值问题的解析解或者数值解。研究发现
2、，无论系统阶数高低，用这一方法总可以求出数值解，但是仅当系统阶数 n 较低时(n2，手工求解(1-3)和(1-5)比较困难或者是很费时间。那么，必须考虑在 Mathematica,Matlab 或 Maple 环境中编程或调用相关的内部函数来求解才是明智之举。 陕西理工学院毕业设计论文第 2 页 共 19 页(2)求问题(1-1)的单位冲激响应 h(t)求 h(t)分两步： 陕西理工学院毕业设计论文第 3 页 共 19 页求 h(t)的第一步，先求下面方程决定的 h1(t)(1-6)2,0(,1)0(,)1n01 nlalnkk问题(1-6) 求解过程与 (1-2)过程完全相同，但定解条件不同
3、。分析给出(1-7)()211 teethntt 上式中的 是单位阶跃信号函数，即自变量大于等于 0 处，函数值等于 1 否则函数值为 0。)(1-7)中的迭加系数满足 n 元一次代数方程组(1-8)10121221 nnnn求 h(t)的第二步：解出 h1(t)后，由 (1-1)方程右端的组合系数分别乘 h1(t)的各阶导函数叠加构造 h(t)，即(1-9)(0btkmk(3)由 h(t)和输入信号 f(t)求系统的零状态响应问题(1-1) 的零状态响应为(1-10)dtfhtfhtyybkmkzs )()(*)( ,11)(0(4)求系统的完全响应(1-11)()(tyttzszi例 1
4、求 2 阶 LTI 连续系统初值问题 )(e*t()cos4tf(t) 1)(0y5,)(2ft,35yt- _ 解 ： (1)yzi(t)由 方 程 y(t)+2y(t)+5y(t)=0， y(0_)=5， y (0_)=1 给 出tzi tziitit etty ccc tctteiee i)2sin(3)o(5)( 3,51,i2s 2sino2sins1,-05211212 1于 是 有 解 得初 值 条 件 给 出又又 的 解 为特 征 方 程Q(2)单位冲激响应 h1(t)由方程 陕西理工学院毕业设计论文第 4 页 共 19 页)(2sin5.0)co(3 )(2sin)(2cos
5、(5.1)(2i. 5.0-2,0)(sin)(co)( 10,5211 211111 11111 tet teteththtetthyhthtt tt zi 于 是 有 ，解 得初 值 条 件 给 出又 （ 因 而 有对 应 的 特 征 方 程 相 同 ，对 应 的 特 征 方 程 与特 别 ，Q(3)求零状态响应 yzs(t) )(*2)(sin5.0)(4cos*)(2sin5.0)2c3co(3 )(*24cosi.) )(i.0s(,4 tetetttet tettttfhy thtttf tzs tt 上面的时域卷积，手工计算过于复杂，可采样 Laplace 变换，各自的像乘积后取
6、逆变换计算 yzs(t)，即 )(4sin8.0)co(4.)2sin(05.)cos(9.150.() 16.1.1.)( 4)(236()() 1,)2sin5.02cos3 )(6(,)(4)(zs 22222zs 22 ttettttY ssst sHFY sHtetethsFtfzs 用 查 表 法 取 逆 变 换 得 得用 部 分 分 式 法 简 化 上 式(4)求系统的全响应 )(si.)c(.)si(.)cs(.i3)2s( ttettttyetzs ti 0),4sin(8.0)co(4.)2sin(95.)2cos(1.350.()4in8.)co4. )(2i5.2(91
7、53()( ttettttytt tetytzszi或 者 这个例子显示，即便是二阶 LTI 连续系统初值问题求解析解，手工计算也是很难度的。例 2 求解三阶 LTI 连续系统初值问题 )(,)(,)(,10)(78.)(.)(7.)( 78. yyttytytt 解 ： (1) 求零输入响应 yzi(t)因初值条件全 0，所以 yzi(t)=0(2) 求单位冲激响应 h(t) 陕西理工学院毕业设计论文第 5 页 共 19 页由于特征方程 手工无法快速求解，调用 Mathematica 内部函078.123.57.23 数 Solvel3+2.7l2+5.123l+12.78=0解得l1=-2
8、.61192， l2=-0.-2.21156i， l3=-0.+2.21156i将两个复数特征根重组，得 )()2156.sin(0.)2156.cos(087.087.() ),.0, 9478.8.4213.43.6192., )(,)(,)( )()56.sin156.cos)( 03.48. 0438.619.2 teteteth thba cbabahtetcteth ttt 得代 回解 代 数 方 程 组 得 数 方 程 组导 出 确 定 叠 加 系 数 的 代由 定 解 条 件(3) 求零状态响应 yzs(t)()21.sin(6.0)2156.cos(74.46.1027.5(
9、)aplce25.)38.16.0 2156.)0438.(79.461.0729.5)( )()(,81)( 2156.)0438.(1.256.)0438.7.6.0saplce)(1*)()215.in(. .s.* 04.4.1. 78.043804369. tetetetyLssYsFHsF sHLttetfty tttzszsz ttzs 逆 变 换 表 得查简 化 后 得）（ 变 换 来 完 成 。为 此 采 用手 工 计 算 仍 然 很 困 难 。(4) 全响应 y(t) )()21.sin(6.0 ).s(.)(04. 04.612.78.1tet tt tttz 对于这些例
10、子，虽然我们求得了解析解，但我们不得不借助于安装了理工软件包的计算机系统，手工计算一元三次代数方程的根以及简化以 s 为自变量的有理分式都很困难。由以上求解步骤和实例可见，求解高阶 LTI 系统解析解必须解决两个初等代数问题:(1) 求一元 n 次代数方程(1-3)的根，n2 时，这个问题手工很难快速求解。(2) 求两个 n 元一次代数方程组(1-5)和(1-8)，n 较大时，手工求解很困难。由此可见，对于 n2 的高阶 LTI 系统初值问题， 手工求解析解很困难。2 用 Mathematica 软件内部函数求连续 LTI 系统响应的方法Mathematica 软件中有多个内部函数可用来求较低
11、阶 LTI 连续系统初值问题的解析解和高阶LTI 连续系统的数值解。调用 NDSolve 函数，求解连续 LTI 系统yt+7yt+12yt=200Cos10tExp-0.25t， y0=0， y0=-5数值解需要的程序如下：Cleary;eq=yt+7yt+12yt=200Cos10tExp-0.25t， y0=0， y0=-5;sol=NDSolveeq， y， t， 0， 10; 陕西理工学院毕业设计论文第 6 页 共 19 页yt_=yt/.sol1;Plotyt， t， 0， 10， PlotRange-All， AxesLabel-t， y(t)程序运行后画出系统响应波形曲线见图
12、1。图 1 二阶连续 LTI 系统初值问题响应的衰减震荡型波形曲线这个例子说明 NDSolve 函数求连续 LTI 系统数值响应非常方便。我们也可以调用 Mathematica状态空间建模思想求解连续系统响应的相关函数 TransferfunctionModel， StataSpaceModel，OutputResponse 等函数来求解系统y(t)+7yt+12yt=200Cos10tExp-0.25t，y 0=0，y(0)=0 ，y(0)=-5的解析解，需要的程序如下：Cleary，ss，sol;tf=TransferfunctionModel1/(s2+7s+12)，s;ss=State
13、SpaceModeltfft_=200Cos10tExp-0.25t;yt_=(OutputResponsess，0，-5，f t，t/Chop/Expand)1Plotyt，t，0，10，PlotRange-All ，AxesLabel-t， y(t)运行后给出y(t)=11.5753 E(-4. t)-10.1133 E(-3. t)-1.46204 E(-0.25 t) Cos10. t+1.05959 E(-0.25 t)* Sin10. t;其波形曲线见图 1。如果要求系统的数值解，将程序修改为Cleary，ss，sol;tf=TransferfunctionModel1/(s2+7s+12)，s;ss=StateSpaceModeltfft_=200Cos10tExp-0.25t;yt_=(OutputResponsess，0，-5， ft， t， 0， 10 /Chop/Expand)1Plotyt，t，0，10，PlotRange-All ，AxesLabel-t， y(t)其波形曲线见图 1。3 Matlab 的 Simulink 求解连续系统3.1 适用范围用 Matlab 的 Simulink 求解连续系统的方法主要是用来求线性时不变系统的解。但是因为Simulin
