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1、 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列 及其加权和表示题 1 图所示的序列。解:2. 给定信号: (1 )画出 序列的波形,标上各序列的值;(2 )试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 序列;(3 )令 ,试画出 波形;(4 )令 ,试画出 波形;(5 )令 ,试画出 波形。解:(1 ) x(n)的波形如题 2 解图(一)所示。(2 )(3 ) 的波形是 x(n)的波形右移 2 位,在乘以 2,画出图形如题 2 解图(二)所示。(4 ) 的波形是 x(n)的波形左移 2 位,在乘以 2,画出图形如题 2 解图(三)所示。(5 )画 时,先画 x(-n)的波形,然后再右移 2 位, 波形
2、如题 2 解图(四)所示。3. 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。(1 ) ,A 是常数;(2 ) 。解:(1 ) ,这是有理数,因此是周期序列,周期是 T=14;(2 ) ,这是无理数,因此是非周期序列。5. 设系统分别用下面的差分方程描述, 与 分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。(1 ) ;(3 ) , 为整常数;(5 ) ;(7 ) 。解:(1 )令:输入为 ,输出为故该系统是时不变系统。故该系统是线性系统。(3 )这是一个延时器,延时器是一个线性时不变系统,下面予以证明。令输入为 ,输出为 ,因为故延时器是一个时不变系统。又因为故延时器是线性系统。(
3、5 ) 令:输入为 ,输出为 ,因为故系统是时不变系统。又因为因此系统是非线性系统。(7 ) 令:输入为 ,输出为 ,因为故该系统是时变系统。又因为故系统是线性系统。6. 给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。(1 ) ;(3 ) ;(5 ) 。解:(1 )只要 ,该系统就是因果系统,因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。如果 ,则 ,因此系统是稳定系统。(3 )如果 , ,因此系统是稳定的。系统是非因果的,因为输出还和 x(n)的将来值有关.(5 )系统是因果系统,因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果 ,则,因此系统是稳定的。7. 设线性时
4、不变系统的单位脉冲响应 和输入序列 如题 7 图所示,要求画出输出输出 的波形。解:解法(1):采用图解法图解法的过程如题 7 解图所示。解法(2):采用解析法。按照题 7 图写出 x(n)和 h(n)的表达式:因为 所以 将 x(n)的表达式代入上式,得到8. 设线性时不变系统的单位取样响应 和输入 分别有以下三种情况,分别求出输出 。(1 ) ;(2 ) ;(3 ) 。解:(1 ) 先确定求和域,由 和 确定对于 m 的非零区间如下:根据非零区间,将 n 分成四种情况求解:最后结果为y(n)的波形如题 8 解图(一)所示。(2 )y(n)的波形如题 8 解图(二)所示.(3 )y(n)对于
5、 m 的非零区间为 。最后写成统一表达式:11. 设系统由下面差分方程描述:;设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。解:令:归纳起来,结果为12. 有一连续信号 式中,(1 )求出 的周期。(2 )用采样间隔 对 进行采样,试写出采样信号 的表达式。(3 )画出对应 的时域离散信号 (序列) 的波形,并求出 的周期。第二章教材第二章习题解答1. 设 和 分别是 和 的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换:(1 ) ;(2 ) ;(3 ) ;(4 ) 。解:(1 )令 ,则(2 )(3 )令 ,则(4 ) 证明: 令 k=n-m,则2. 已知求 的傅里叶反变换 。解: 3. 线性时不变
6、系统的频率响应( 传输函数) 如果单位脉冲响应为实序列,试证明输入 的稳态响应为。解:假设输入信号 ,系统单位脉冲相应为 h(n),系统输出为上式说明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。上式中 是 w 的偶函数,相位函数是 w 的奇函数,4. 设 将 以 4 为周期进行周期延拓,形成周期序列 ,画出和 的波形,求出 的离散傅里叶级数 和傅里叶变换。解:画出 x(n)和 的波形如题 4 解图所示。,以 4 为周期,或者,以 4 为周期5. 设如图所示的序列 的 FT 用 表示,不直接求出 ,完成下列运算:(1 ) ;(
7、2 ) ;(5 )解:(1 )(2 )(5 )6. 试求如下序列的傅里叶变换:(2 ) ;(3 )解:(2 )(3 ) 7. 设:(1 ) 是实偶函数,(2 ) 是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下, 的傅里叶变换性质。解:令 (1 ) x(n)是实、偶函数,两边取共轭,得到因此上式说明 x(n)是实序列, 具有共轭对称性质。由于 x(n)是偶函数,x(n)sinwn 是奇函数,那么因此该式说明 是实函数,且是 w 的偶函数。总结以上 x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换 是实、偶函数。(2 ) x(n)是实、奇函数。上面已推出,由于 x(n)是实序列, 具有共轭对称性质,即由于 x(n
8、)是奇函数,上式中 是奇函数,那么因此这说明 是纯虚数,且是 w 的奇函数。10. 若序列 是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式: 求序列 及其傅里叶变换 。解:12. 设系统的单位取样响应 ,输入序列为 ,完成下面各题:(1 )求出系统输出序列 ;(2 )分别求出 、 和 的傅里叶变换。解:(1 )(2 )13. 已知 ,式中 ,以采样频率 对 进行采样,得到采样信号 和时域离散信号 ,试完成下面各题:(1 )写出 的傅里叶变换表示式 ;(2 )写出 和 的表达式;(3 )分别求出 的傅里叶变换和 序列的傅里叶变换。解:(1 )上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数 函数,它的傅里
9、叶变换可以表示成:(2 ) (3 )式中式中上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。14. 求以下序列的 Z 变换及收敛域:(2 ) ;(3 ) ;(6 )解:(2 ) (3 )(6 )16. 已知:求出对应 的各种可能的序列的表达式。解:有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况:三种收敛域对应三种不同的原序列。(1 )当收敛域 时,令,因为 c 内无极点,x(n)=0;,C 内有极点 0,但 z=0 是一个 n 阶极点,改为求圆外极点留数,圆外极点有,那么(2 )当收敛域 时,C 内有极点 0.5;,C 内有极
10、点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数,c 外极点只有一个,即 2,最后得到(3 )当收敛域 时,C 内有极点 0.5,2;n0,由收敛域判断,这是一个因果序列,因此 x(n)=0。或者这样分析,C 内有极点 0.5,2 ,0,但 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数,c 外无极点,所以 x(n)=0。最后得到17. 已知 ,分别求:(1 ) 的 Z 变换;(2 ) 的 Z 变换;(3 ) 的 z 变换。解:(1 )(2 )(3 )18. 已知 ,分别求:(1 )收敛域 对应的原序列 ;(2 )收敛域 对应的原序列 。解:(1 )当收敛域 时, , 内有极
11、点 0.5,,c 内有极点 0.5,0,但 0 是一个 n 阶极点, 改求 c 外极点留数,c 外极点只有 2, ,最后得到(2 (当收敛域 时,c 内有极点 0.5,2, c 内有极点 0.5,2,0,但极点 0 是一个 n 阶极点,改成求 c 外极点留数, 可是 c 外没有极点,因此 , 最后得到25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为,试:(1 )用卷积法求网络输出 ;(2 )用 ZT 法求网络输出 。解:(1 )用卷积法求, ,, ,最后得到(2 )用 ZT 法求令,c 内有极点因为系统是因果系统, , ,最后得到28. 若序列 是因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:求序列 及其傅里
12、叶变换 。解:求上式 IZT,得到序列 的共轭对称序列 。因为 是因果序列, 必定是双边序列,收敛域取: 。时,c 内有极点 ,n=0 时,c 内有极点 ,0,所以又因为所以3.2 教材第三章习题解答1. 计算以下诸序列的 N 点 DFT,在变换区间 内,序列定义为(2 ) ;(4 ) ;(6 ) ;(8 ) ;(10 ) 。解:(2 )(4 )(6 )(8 )解法 1 直接计算解法 2 由 DFT 的共轭对称性求解因为所以即结果与解法 1 所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(10 )解法 1上式直接计算较难,可根据循环移位性质来求解 X(k)。因为 所以 等式两边进行 DFT 得到故 当
13、时,可直接计算得出 X(0)这样,X(k)可写成如下形式:解法 2 时,时,所以,即2. 已知下列 ,求(1 ) ;(2 )解:(1 )(2 )3. 长度为 N=10 的两个有限长序列作图表示 、 和 。解:、 和 分别如题 3 解图( a) 、 (b) 、 (c )所示。14. 两个有限长序列 和 的零值区间为: 对每个序列作 20 点 DFT,即如果试问在哪些点上 ,为什么?解:如前所示,记 ,而 。长度为 27, 长度为 20。已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上,才满足 所以15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率 ,信号最高频率为 1kHZ,试确定以下各参
14、数:(1 )最小记录时间 ;(2 )最大取样间隔 ;(3 )最少采样点数 ;(4 )在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的 N 值。解:(1 )已知(2 )(3 )(4 )频带宽度不变就意味着采样间隔 T 不变,应该使记录时间扩大一倍为 0.04s 实现频率分辨率提高一倍(F 变为原来的 1/2)18. 我们希望利用 长度为 N=50 的 FIR 滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理,要求采用重叠保留法通过 DFT 来实现。所谓重叠保留法,就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为 M=100 个采样点) ,但相邻两段必须重叠 V 个点,然后计算各段与 的 L点(本题取 L=128)循
15、环卷积,得到输出序列 ,m 表示第 m 段计算输出。最后,从中取出个,使每段取出的个采样点连接得到滤波输出 。(1 )求 V;(2 )求 B;(3 )确定取出的 B 个采样应为 中的哪些采样点。解:为了便于叙述,规定循环卷积的输出序列 的序列标号为 0,1 ,2,,127。先以 与各段输入的线性卷积 考虑, 中,第 0 点到 48 点(共 49 个点)不正确,不能作为滤波输出,第 49 点到第 99 点(共 51 个点)为正确的滤波输出序列的一段,即 B=51。所以,为了去除前面 49 个不正确点,取出 51 个正确的点连续得到不间断又无多余点的 ,必须重叠 100-51=49 个点,即 V=49。下面说明,对 128 点的循环卷积 ,上述结果也是正确的。我们知道因为 长度为N+M-1=50+100-1=149所以从 n=20 到 127 区域, ,当然,第 49 点到第 99 点二者亦相等,所以