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1、剖析高中数学中的恒成立问题三个同学对问题“关于 x的不等式 2325xxa在 1,上恒成立,求实数 a的取值范围”提出各自的解题思路甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说:“把不等式变形为左边含变量 x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”丙说:“把不等式两边看成关于 的函数,作出函数图像”参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,求 a的取值范围.解析: 关键在于对甲,乙,丙的解题思路进行思辨,这一思辨实际上是函数思想的反映.设 2325,fxxgxa.甲的解题思路,实际上是针对两个函数的,即把已知不等式的两边看作两个函数,设 2325,fxxgxa其解法相当于解下面
2、的问题:对于 12,1,若 12f恒成立,求 a的取值范围.所以,甲的解题思路与题目 ,x, fxg恒成立,求 的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数 2325f的图象和gxa的图象,然而,函数 x的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为 fa在 1,2x上恒成立,等价于1,2x时, minfx成立.由 5fx在 51,2x时,有最小值 10,于是, 10a.这就是高中数学中的恒成立问题。新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化
3、归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法:函数性质法;主参换位法;分离参数法;数形结合法。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析:一、函数性质法1、二次函数:.若二次函数 (或 )在 R 上恒成立,则有 最值 2()(0)fxabc(或 判别式 );.若二次函数 (或 )在指定区间上恒成立,可以利用2()()f 0求最值和韦达定理以及根的分布等知识求解。利用最值: ;利用韦达定理以及根的分布等知识求解 。例 1:已知不等式在
4、区间2,3上恒成立,求实数 m 的取值范围。【分析】有哪些方法?答案: 9,(1. (1)若关于 x的不等式 02ax的解集为 ),(,求实数 a的取值范围;(2)若关于 的不等式 3的解集不是空集,求实数a的取值范围w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1.(1)设 axf2.则关于 x的不等式 02ax的解集为),(0在 ,上恒成立 minf,即 ,42minxf 解得 04a(2)设 axf2.则关于 x的不等式 32ax的解集不是空20xm集 3xf在 ,上能成立 3minxf,即 ,342minaf 解得 6a或 2.7. 已知函数 xfln, bxg21, 0a.若 2b,且 h存
5、在单调递减区间,求 a 的取值范围;例 2(09 年江西卷文 17)设函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 329()6fxx(1)对于任意实数 , 恒成立,求 的最大值。 xfm解析:(1) , 对 , , 即 在 2()396fQxR()fm239(6)0xm上恒成立, , 得 ,即 的最大值为 。xR81()0442、其它函数:(规律总结)恒成立 (注:若 的最小值不存在,则 恒成立()0fmin()fx()fx()0fx的下界大于 0); 恒成立 (注:若 的最大值不存xma0在,则 恒成立 的上界小于 0).()f()fx例 3(07 年重庆卷理 20)已知函数 在 处取得极
6、值)(ln44xcbx1,其中 、 为常数.cab(1)试确定 、 的值; (2)讨论函数 的单调区间;)(xf(3)若对任意 ,不等式 恒成立,求 的取值范围。02)(cxfc分析: 恒成立,即 ,要解决此题关键是求 ,2)(cxf2min()f min()fx。0x解:(1)(2)略(3)由(2)知, 在 处取得极小值 ,此极小值也是最小值.)(xf1cf3)1(要使 恒成立,只需 .即 ,0)(2cxf 23c0从而 . 解得 或 . 的取值范围为 .12c),231,(U例 4(08 天津文 21)设函数 ,其中 432()()fxaxbR,ab()若对于任意的 2a, ,不等式 在
7、1, 上恒成立,求 的取值范()f围(节选)分析: ,即 , 2a, , , ,要解决此题关键是求()1fxmax()1f x。ma()f解:() 322()44(34)fxxxa由条件 2a, 可知2960,从而 20a恒成立当 0时, (0fx;当 时,()fx因此函数 f在 1, 上的最大值是 (1)f与 两者中的较大者为使对任意 2a, ,不等式 在 , 上恒成立,当且仅当 ,xmax()1f即 ,即 在 2a, 上恒成立即 , 2,()1fb in(2)b所以 ,因此满足条件的 的取值范围是 4 , 4b例 5(09 年全国卷 II 文 21)设函数 ,其中常数321()()4fxa
8、xa1(II)若当 时, 恒成立,求 的取值范围。(节选) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0x()0fx分析:利用导数求函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出 的范围。解:(II)由(I)知,当 时, 在 或 处取得最小值。)(xfa20x;aaaf 42)(1)2(3 43af2)(则由题意得.5.u.c.o.m 即 解得 。,0)(f.024,)6(3,1a16a(1,)二、主参换位法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的
9、效果。例 6(07 辽宁卷文科 22)已知函数 ,32 2()9cos48s1infxx,且对任意的实数 均有 , .()gxft(1cos)0gt(3sin)0gt() 求函数 的解析式;()fx()若对任意的 ,恒有 ,求 的取值范围.26,m2()1fxmx解析: () ,2()318cos4gxf,01cos2,tRt,而 , 恒成立.则由二次函数性质得23sin4t1cos)0t(in)0gt,解得 , , 。()0g2si32()94fxx() .令 ,2()19410fxmx21hm则 即 .由于 ,则有()6,. 解得 .所以 的取值范围为 。2(26)9401hx 13x,1
10、3例 7 (08 安徽文科 20)已知函数 ,其中 为实数32()()afxaa()已知不等式 对任意 都成立,求实数 的取值范2(1fx 0, x围(节选)分析:已知参数 的范围,要求自变量 的范围,转换主参元 和 的位置,构造以axa为自变量 作为参数的一次函数 ,转换成 , 恒成立再求解。ax()ga()a, (0g解析:由题设知“ 对 都成立,即223(1)1xx(),对 都成立。设22()0axa,( ),gxR则 是一个以 为自变量的一次函数。 恒成立,则对 , 为() 20xQxR()ga上的单调递增函数。 所以对 , 恒成立的充分必要条件是R(0)a, (ga, , ,于是 的
11、取值范围是 。(0)g20x2xx|20x三、分离参数法利用分离参数法来确定不等式 ,( , 为实参数)恒成立中参数,0fD的取值范围的基本步骤:(1) 将参数与变量分离,即化为 (或 )恒成立的形式;gfxgfx(2) 求 在 上的最大(或最小)值;fxD(3) 解不等式 (或 ) ,得 的取值范围。max)gfminfx适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。例 8 (07 年山东卷文 15)当 时,不等式 恒成立,则 的取值范(1,2)240m围是 .解析: 当 时,由 得 .令 ,则(1,2)x240xm2x24()xfx易知 在 上是减函数,所以 时 ,则)f,
12、 1,()15maxff .2min4(5x例 9(09 年山东卷文 21) 已知函数 ,其中 w.w.w.k.s.5。321()fxabx0a(1) 当 满足什么条件时, 取得极值?ba(2) 已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表示出 的取值范围.0)(xf(01b分析:此题虽有三个变量 、 、 ,而 的范围已知,最终要用 表示出 的取值abxab范围,所以可以将 看成一个已知数,对 和 进行离参。a解析:(2) 在区间 上单调递增 在 上恒成)(xf(0,12()10fx(,立 恒成立 , 。设1,2bma1b(,, ,令 得 或()axg22()1()axgx()0gx1a(舍去),
13、1a当 时, ,当 时 , 单调增函数;011(0,)xa(0gx1()2ax当 时 , 单调减函数,1(,xa()g()2 。 。max()g1()aba当 时, ,此时 在区间 恒成立,所以 在区0()0gx(,1 1()2axg间 上单调递增, , 。(,1max122ab综上,当 时, ; 当 时, 。ab0四、数形结合(对于 型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处()fxg理)若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例 10 (07 安徽理科 3)若对任意 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是xR|xaa(A) (B) (C) (D) 1a|1a|11解析:对 ,不等式 恒成立xR|x则由一次函数性质及图像知 ,即 。|a上述例子剖析了近三年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数学中的“统一美”。2009 年 6 月|yx|yxaxO