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1、剖析高中数学中的恒成立问题三个同学对问题“关于 x的不等式 2325xxa在 1,上恒成立，求实数 a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求 a的取值范围.解析： 关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设 2325,fxxgxa.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设 2325,fxxgxa其解法相当于解下面
2、的问题：对于 12,1,若 12f恒成立,求 a的取值范围.所以，甲的解题思路与题目 ,x, fxg恒成立,求 的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数 2325f的图象和gxa的图象,然而,函数 x的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为 fa在 1,2x上恒成立,等价于1,2x时, minfx成立.由 5fx在 51,2x时,有最小值 10,于是, 10a.这就是高中数学中的恒成立问题。新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化
3、归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析：一、函数性质法1、二次函数：.若二次函数 （或 ）在 R 上恒成立，则有 最值 2()(0)fxabc（或 判别式 ）；.若二次函数 （或 ）在指定区间上恒成立，可以利用2()()f 0求最值和韦达定理以及根的分布等知识求解。利用最值： ；利用韦达定理以及根的分布等知识求解 。例 1：已知不等式在
4、区间2,3上恒成立，求实数 m 的取值范围。【分析】有哪些方法？答案： 9,(1. （1）若关于 x的不等式 02ax的解集为 ),(，求实数 a的取值范围；（2）若关于 的不等式 3的解集不是空集，求实数a的取值范围w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1.（1）设 axf2.则关于 x的不等式 02ax的解集为),(0在 ,上恒成立 minf,即 ,42minxf 解得 04a（2）设 axf2.则关于 x的不等式 32ax的解集不是空20xm集 3xf在 ,上能成立 3minxf,即 ,342minaf 解得 6a或 2.7. 已知函数 xfln， bxg21， 0a.若 2b，且 h存
5、在单调递减区间，求 a 的取值范围；例 2（09 年江西卷文 17）设函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 329()6fxx（1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值。 xfm解析：(1) , 对 , , 即 在 2()396fQxR()fm239(6)0xm上恒成立, , 得 ，即 的最大值为 。xR81()0442、其它函数：（规律总结）恒成立 （注：若 的最小值不存在，则 恒成立()0fmin()fx()fx()0fx的下界大于 0）； 恒成立 （注：若 的最大值不存xma0在，则 恒成立 的上界小于 0）.()f()fx例 3（07 年重庆卷理 20)已知函数 在 处取得极
6、值)(ln44xcbx1，其中 、 为常数.cab（1）试确定 、 的值； （2）讨论函数 的单调区间；)(xf（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。02)(cxfc分析： 恒成立，即 ，要解决此题关键是求 ，2)(cxf2min()f min()fx。0x解：（1）（2）略（3）由（2）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值.)(xf1cf3)1(要使 恒成立，只需 .即 ，0)(2cxf 23c0从而 . 解得 或 . 的取值范围为 .12c),231,(U例 4（08 天津文 21）设函数 ，其中 432()()fxaxbR,ab（）若对于任意的 2a， ，不等式 在
7、1， 上恒成立，求 的取值范()f围（节选）分析： ，即 ， 2a， ， ， ，要解决此题关键是求()1fxmax()1f x。ma()f解：（） 322()44(34)fxxxa由条件 2a， 可知2960，从而 20a恒成立当 0时， (0fx；当 时，()fx因此函数 f在 1， 上的最大值是 (1)f与 两者中的较大者为使对任意 2a， ，不等式 在 ， 上恒成立，当且仅当 ，xmax()1f即 ，即 在 2a， 上恒成立即 ， 2，()1fb in(2)b所以 ，因此满足条件的 的取值范围是 4 ， 4b例 5（09 年全国卷 II 文 21）设函数 ，其中常数321()()4fxa
8、xa1（II）若当 时， 恒成立，求 的取值范围。（节选） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0x()0fx分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出 的范围。解：（II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值。)(xfa20x；aaaf 42)(1)2(3 43af2)(则由题意得.5.u.c.o.m 即 解得 。,0)(f.024,)6(3,1a16a(1,)二、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的
9、效果。例 6（07 辽宁卷文科 22)已知函数 ，32 2()9cos48s1infxx，且对任意的实数 均有 ， .()gxft(1cos)0gt(3sin)0gt() 求函数 的解析式；()fx()若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围.26,m2()1fxmx解析： () ，2()318cos4gxf,01cos2,tRt，而 ， 恒成立.则由二次函数性质得23sin4t1cos)0t(in)0gt，解得 ， ， 。()0g2si32()94fxx（） .令 ，2()19410fxmx21hm则 即 .由于 ，则有()6,. 解得 .所以 的取值范围为 。2(26)9401hx 13x,1
10、3例 7 (08 安徽文科 20)已知函数 ，其中 为实数32()()afxaa（）已知不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范2(1fx 0， x围（节选）分析：已知参数 的范围，要求自变量 的范围，转换主参元 和 的位置，构造以axa为自变量 作为参数的一次函数 ，转换成 ， 恒成立再求解。ax()ga()a， (0g解析：由题设知“ 对 都成立，即223(1)1xx()，对 都成立。设22()0axa，（ ），gxR则 是一个以 为自变量的一次函数。 恒成立，则对 ， 为() 20xQxR()ga上的单调递增函数。 所以对 ， 恒成立的充分必要条件是R(0)a， (ga， ， ，于是 的
11、取值范围是 。(0)g20x2xx|20x三、分离参数法利用分离参数法来确定不等式 ,（ , 为实参数）恒成立中参数,0fD的取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式；gfxgfx（2） 求 在 上的最大（或最小）值；fxD（3） 解不等式 (或 ) ，得 的取值范围。max)gfminfx适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。例 8 （07 年山东卷文 15)当 时，不等式 恒成立，则 的取值范(1,2)240m围是 .解析: 当 时，由 得 .令 ，则(1,2)x240xm2x24()xfx易知 在 上是减函数，所以 时 ，则)f,
12、 1,()15maxff .2min4(5x例 9（09 年山东卷文 21） 已知函数 ,其中 w.w.w.k.s.5。321()fxabx0a（1） 当 满足什么条件时, 取得极值?ba（2） 已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表示出 的取值范围.0)(xf(01b分析：此题虽有三个变量 、 、 ，而 的范围已知，最终要用 表示出 的取值abxab范围，所以可以将 看成一个已知数，对 和 进行离参。a解析：(2) 在区间 上单调递增 在 上恒成)(xf(0,12()10fx(,立 恒成立 ， 。设1,2bma1b(,， ，令 得 或()axg22()1()axgx()0gx1a(舍去)，
13、1a当 时, ，当 时 ， 单调增函数；011(0,)xa(0gx1()2ax当 时 ， 单调减函数,1(,xa()g()2 。 。max()g1()aba当 时， ，此时 在区间 恒成立，所以 在区0()0gx(,1 1()2axg间 上单调递增， ， 。(,1max122ab综上，当 时, ； 当 时， 。ab0四、数形结合（对于 型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处()fxg理）若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例 10 (07 安徽理科 3)若对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是xR|xaa(A) (B) (C) （D） 1a|1a|11解析：对 ,不等式 恒成立xR|x则由一次函数性质及图像知 ，即 。|a上述例子剖析了近三年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。2009 年 6 月|yx|yxaxO
