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1、第五节 不等式的综合应用,三年15考 高考指数:1.掌握不等式的性质及其证明.2.运用不等式的性质、定理、不等式的求解及不等式的证明解决有关的数学问题和实际问题.,1.利用不等式求最值或求参数的取值范围是高考考查的热点内容之一;2.不等式与函数、方程、数列、解析几何等知识的综合问题成为高考新的热点.3.利用均值不等式作为解题工具解决一些实际问题(如求利润的最值等),也是高考常考的内容.4.对不等式的考查各种题型都有.,1.不等式在函数、方程中的应用(1)通过求解不等式(组),求函数的定义域、值域;(2)利用不等式解决函数单调性问题.(3)运用不等式研究方程解的问题(如根的存在性问题及根的个数及
2、分布、解集间的包含关系等).,【即时应用】(1)函数f(x)=lg(x2+4x+3)的定义域是_；(2)方程x2-ax+a=0有两个正根，则实数a的取值范围是_.(3)已知集合M=-1,1,N=x| 2x+14,xZ,则MN=_.,【解析】(1)由题意得x2+4x+30,即(x+3)(x+1)0x-1或x-3.故函数的定义域为x|x-1或x-3(2)因为方程x2-ax+a=0有两个正根，所以=a2-4a0且a0，解得a4.(3) 2x+14,-1x+12,-2x1又xZ,x=-1，0，MN=-1.答案：(1)x|x-1或x-3 (2)a4 (3)-1,2.不等式在向量和数列问题中的应用(1)
3、运用不等式研究向量的夹角、坐标运算及模长问题；(2)通过解不等式解决数列的单调性及与最值有关的问题;(3)数列与不等式融合的大题综合性较强,常用不等式证明中的放缩法.,【即时应用】(1)比较大小 (nN*)_1.(2)已知j与i为相互垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+j，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.,【解析】(1)=所以(2)a与b的夹角为锐角,ab0即ab=(i-2j)(i+j )=ii-(2j)i+i(j)-(2j)(j)=1-20， .,又当a=kb(k0)，即i-2j=k(i+j),解得=-2时，a与b共线同向，故舍去.所以实数的取值范围是(-,-2)(-2, ).
4、答案：(1) (2)(-,-2)(-2, ),3.利用不等式解决实际问题可建立不等式模型的应用问题,一般分为两类:一是构造不等式并解不等式;二是建立函数关系式求最值.,【即时应用】(1)思考:利用不等式解决实际问题时，建立不等关系的途径主要有哪些？提示：利用几何意义；利用判别式；利用变量的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式等.,(2)工地上要修建一个容积为8m3,深2m的长方体无盖水池,若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为_元. 【解析】由题意知水池的底面积为82=4m2,设池底的一边为x m,则另一边为 m,因此水池的总造价为:y=4120+2(x+
5、 )280480+3204=1 760，当且仅当x=2时等号成立.答案：1 760,不等式在函数、方程中的应用【方法点睛】不等式在函数、方程中的应用不等式经常与函数和方程融合在一起形成综合题,既有用不等式研究函数和方程的题目,也有用函数和方程的思想研究不等式的题目,具体有:,(1)求函数的定义域、值域和最值问题.(2)判断函数的单调性以及求单调区间,利用函数单调性解与抽象函数有关的不等式.(3)利用不等式讨论方程的实根个数、分布范围以及解含参数的方程等(4)解决有关的恒成立问题.【提醒】函数、方程、不等式的综合是常见题型,需要充分利用函数的性质、图象、方程的根及相应不等式的解之间的关系加以解决
6、.,【例1】(1)已知函数f(x)=x3- x2+bx+c.若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；若f(x)在x=1时取得极值，且当x-1,2时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围.(2)设f(x)是定义域为(-,0)(0，+)的奇函数且在(-,0)上为增函数.若mn0，m+n0，求证：f(m)+f(n)0;若f(1)=0，解关于x的不等式f(x2-2x-2)0.,【解题指南】(1)利用导数等于0有实数解，求得b的范围，利用极值求得最值，再来解决恒成立问题;(2)利用奇偶性将f(-x)转化为f(x)，再利用单调性把函数值的大小与自变量的取值的大小联系起来求解.,【规范解答】(1)
7、f(x)=3x2-x+b.f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则f(x)=0有实数解，即方程3x2-x+b=0有实数解.由=1-12b0,得b所以b的取值范围是(-, .由题意，x=1是方程3x2-x+b=0的一个根，设其另一个根为x0,则 所以,所以f(x)=x3- x2-2x+c,则f(x)=3x2-x-2.当x(-1,- )时，f(x)0;当x(- ,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.所以，当x=- 时，f(x)有极大值 +c.又f(-1)= +c,f(2)=2+c，即当x-1,2时，f(x)的最大值为f(2)=2+c. 因为对x-1,2，f(x)c2恒成立，所以c22+
8、c，解得c-1或c2. 故c的取值范围为(-,-1)(2,+).,(2)mn0,m+n0,m,n一正一负，不妨设m0,n0,则n-m0,取n=-m0,则f(n)=f(-m);取n-m0，函数f(x)在(-,0)上为增函数，f(n)f(-m)，f(n)f(-m)，又函数f(x)在(-,0)(0,+)上为奇函数，f(-m)=-f(m),f(m)+f(n)0.,f(1)=0,f(-1)=0.又f(x)在(-,0)和(0,+)上为增函数，原不等式可化为：x2-2x-21 或-1x2-2x-20 ,解得:x3或x-1，解得：1- x1- 或1+ x1+ ,原不等式的解集为(-,-1)(1- ,1- )(
9、1+ ,1+ )(3,+).,【互动探究】将本例(2)中的“增”改为“减”，的其他条件不变，则f(m)+f(n)与0 的关系又如何呢？【解析】mn0,m+n0, m,n一正一负.不妨设m0,n0,则n-m0,取n=-m0，则f(n)=f(-m),取n-m0，函数f(x)在(-,0)上为减函数，f(n)f(-m),f(n)f(-m),又函数f(x)在(-,0)(0,+)上为奇函数，f(-m)=-f(m), f(m)+f(n)0.,【反思感悟】在解答本例第(2)题时，往往用分析法去寻找解题思路，从求证的结论出发，把结论变形为f(n)-f(m),易发现求证的突破口.,【变式备选】(2012上海模拟)
10、已知f(x)=x3-6ax2+9a2x(aR).(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a0时，若对任意x0,3，有f(x)4恒成立，求实数a的取值范围.,【解析】(1)f(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)0.()当a=3a，即a=0时，f(x)=3x20，无单调递减区间；()当a3a，即a0时，f(x)的单调递减区间为(3a,a);()当a3a，即a0时，f(x)的单调递减区间为(a,3a).(2)f(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a).结合(1)知，当a0时，f(x)在(0,a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,+)上递增.,()当a
11、3时，函数f(x)在0，3上递增，所以函数f(x)在0，3上的最大值是f(3).若对任意x0,3，有f(x)4恒成立，需要有 得a()当1a3时，有a33a，此时函数f(x)在0，a上递增，在a，3上递减，所以函数f(x)在0，3上的最大值是f(a).,f(3)4a3，,若对任意x0,3，有f(x)4恒成立，需要有 解得a=1. ()当a1时，有33a，此时函数f(x)在0,a上递增，在a,3a上递减，在3a,3上递增，所以函数f(x)在0，3上的最大值是f(a)或者是f(3).由f(a)-f(3)=(a-3)2(4a-3)，得当0a 时，f(a)f(3).,f(a)41a3，,若对任意x0，
12、3，有f(x)4恒成立，需要有 ，解得a1- .当 a1时，f(a)f(3).若对任意x0,3，有f(x)4恒成立，需要有 ，解得a( ,1).综上所述，a1- ,1.,f(3)40a,f(a)4 a1,不等式在解析几何中的应用【方法点睛】不等式在解析几何中的应用解析几何中常出现求某个量的范围或最值问题,这类问题的解法一般都是通过数形结合,把几何问题转化为代数问题求解.(1)根据题目条件,把要求范围或最值的量表示为另一变量的函数,然后利用求函数值域的思想加以解决;(2)设法建立包含要求最值的那个量的不等式,通过解这个不等式,求出这个量的范围或最值.,【例2】已知椭圆 +y2=1,经过其左顶点A
13、作斜率为k(k0)的直线与椭圆交于点B,直线BO交椭圆于C点,O是坐标原点,求ABC面积的最大值.【解题指南】设出直线方程并与椭圆方程联立,得B点纵坐标,然后表示出ABC的面积,最后利用均值不等式求面积的最大值.,【规范解答】由题意知,过A(-4,0)且斜率为k(k0)的直线方程为y=k(x+4)(k0).由 消去x可得：(16k2+1)y2-8ky=0，解得y=0(舍去)或y= ,即点B的纵坐标是yB= .因为k0,所以ABC的面积因为 所以 即ABC面积的最大值为4.,y=k(x+4) +y2=1,【反思感悟】通过数形结合的方法将几何问题转化为代数问题是利用不等式解决解析几何问题时最常用的
14、方法.,【变式训练】已知椭圆 =1(ab0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M( )满足 =0.(1)求椭圆的方程；(2)若直线L：y=kx+ 与椭圆恒有不同交点A、B，且 1(O为坐标原点)，求k的范围.,【解析】(1)由题意知 =(-c- ,- ), =(c- ,- ),又 =0,( )2-c2+( )2=0,解得c=F1(- ,0),F2( ,0),由椭圆的定义知2a=a=2,b= =1,椭圆的标准方程为 =1.,(2) ,消去y解得( +k2)x2+2 kx+1=0,由题意=8k2-4( +k2)0,故k 或k- ,可设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2= x1x2= =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+ k(x1+x2)+2= 1k(- ,- )( , ).,
