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1、第一节 函数及其表示,三年16考 高考指数:1.了解函数、映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域;2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法；3.了解简单的分段函数，并能简单的应用.,1.函数的概念、定义域、值域及表示法（特别是分段函数)是近几年高考命题的热点.2.求定义域、分段函数的函数值、最值、值域及与函数有关的新定义问题是重点，也是难点.3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.,1.函数与映射的概念,数集,确定,任意,数x,唯一确定,f(x),集合,确定,任意,元素x,唯一确定,元素y,【即时应用】(1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.（请在括号中填“是”或“否”）
2、A=R，B=x|x0,f:x|x|;( )A=R，B=R，f:xx2;( )A=Z,B=R，f:x ；( )A=Z，B=Z，f:xx2-3.( ),(2)设A=0,1,2,4，B= ,0,1,2,6,8，判断下列对应关系是否是A到B的映射.（请在括号中填“是”或“否”）f:xx3-1( )f:x(x-1)2( )f:x2x-1( )f:x2x( ),【解析】(1)否，因为A中的元素0在B中没有对应元素;否，因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素;是，满足函数的定义，是从A到B的函数.（2）是，满足映射的定义，是从A到B的映射；不是，当A中的x=0,2,4时在B中没有象；不是，当A中的x=4时
3、在B中没有象；不是，当A中的x=2时在B中没有象.答案：(1)否 是 否 是(2) 否 否 是 否,2.函数的构成要素函数由_、_、_三个要素构成，对函数y=f(x),xA，其中，(1)定义域是:自变量_.(2)值域是：_.,定义域,值域,对应关系,x的取值范围A,函数值的集合f(x)|xA,【即时应用】(1)思考:若两个函数的定义域与值域相同，则一定是相同函数吗?提示：不一定，如y=sinx与y=cosx两个函数的定义域都是R,值域都是-1,1,显然它们不是相同函数.,(2)判断下列各组函数中，是否是同一函数.（请在括号中填“是”或“否”)f(x)=x与g(x)= .( )f(x)=|x|与
4、g(x)= . ( )f(x)=x|x|与g(x)= .( )f(x)= 与g(t)=t+1(t1).( ),【解析】否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同；否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；是，函数f(x)= =x+1(x1)与g(t)=t+1（t1）是同一函数.答案：否 否 否 是,（3）函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为_.【解析】当x取0,1,2,3时，对应的函数y的值依次为0,-1,0,3,所以其值域为-1,0,3.答案：-1,0,3,3.函数的表示方法表示函数的常用方法有：_，_和_.,解析法,列表法,图象法,【
5、即时应用】（1）思考:所有函数都可以用解析法来表示吗？提示：不一定，像有些函数只能用列表法或图象法表示而不能用解析法表示，有的函数根本没有解析式.,（2）如图所表示的函数的解析式为_.,【解析】由题中图可知：图象分为两段，每一段都是线段，当0x1时，y= x；当1x2时，y= x+3；综上可知：答案：,(3)若f( +1)=x+2 ，则f(x)的解析式为_.【解析】方法一：令t= +1，则x=(t-1)2,t1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,f(x)=x2-1(x1).方法二：x+2 =( +1)2-1,f( +1)=( +1)2-1.又 +11,f(x)=x2-1
6、(x1).答案：f(x)=x2-1(x1),4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.,对应关系,【即时应用】(1)已知函数f(x)= 则f(f( )=_.(2)设f(x)= 若f(x)=3，则x=_.,【解析】（1） , .(2)当x-1时，-x+2=3，得x=-1符合要求；当-1x2时，x2=3,得x= ,只有 符合要求；当x2时，2x=3,得x= ,不符合要求.综上可知，x=-1或 .答案：(1) (2)-1或,求简单函数的定义域、值域【方法点睛】1.求简单函数的定义域的方法（1)若已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式
7、（组）求解.（2）实际问题：由实际意义及使相应解析式有意义的不等式（组）求解.,(3)求抽象函数的定义域若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f（g(x)）的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f（g(x)）的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域,2.求简单函数值域的方法根据简单函数解析式的特点，分别选用(1)观察法；（2）图象观察法；（3）单调性法；（4）分离常数法；（5）基本不等式法；（6）换元法.,【例1】（1）求函数f(x)= 的定义域;（2）已知函数f(2x)的定义域是-1,1，求f(x)的定义域；（3）求下列函数的值域.y=x2+2x,x0,
8、3;y=log3x+logx3-1;y=,【解题指南】(1)只给出解析式求定义域，只需使解析式有意义，列不等式组求解；(2)求抽象函数的定义域，要明确2x与f(x)中x的含义;(3)根据解析式的特点，分别选用图象观察法；基本不等式法；单调性法求值域.,【规范解答】（1）要使该函数有意义，需要则有： 解得:-3x0或2x3,所以所求函数的定义域为(-3,0)(2,3).(2)f(2x)的定义域为-1，1，即-1x1, 2x2，故f(x)的定义域为 ,2.,（3）y=(x+1)2-1，在0,3上的图象如图所示，,由图象知：0y32+23=15,所以函数值域为0,15.y=log3x+ -1 ，定义
9、域为(0,1)(1,+)，当0x1时，y- =-3,当x1时，y =1,综上可知，函数值域为(-,-31,+).因为x2-1-1，又y=2x在R上为增函数,y= 2-1= .故值域为 ,+),【互动探究】若本例(2)中条件不变，求f(log2x)的定义域.【解析】由本例（）中知f(x)的定义域为 ,2,函数y=f(log2x)中， log2x2,即： log2xlog24, x4,故函数f(log2x)的定义域为 ,4.,【反思感悟】1.求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式（组），从而求解.2.f(g(x)的定义域为a,b，指的是x的取值范围是a,b，而不是g(x)的
10、取值范围是a,b.3.求函数的值域时，若能画出图象，则用图象观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足用基本不等式的条件，则用基本不等式求解.,【变式备选】若函数f(x)= 的定义域为R，则a的取值范围为_.【解析】因为函数f(x)的定义域为R，即 0,对xR恒成立，亦即x2+2ax-a0恒成立,需=(2a)2-4(-a)=4a2+4a0即可,解得:-1a0.答案：a|-1a0,分段函数及其应用【方法点睛】分段函数求值，解不等式及求解析式的方法 分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的求值，解不等式及求解析式等相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，从而
11、选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍.【提醒】分段函数由几个部分组成，但它表示的是一个函数.,【例2】（1）(2012杭州模拟）设函数f(x)=若f(a)=4，则实数a=( ) （A）-4或-2（B）-4或2（C）-2或4（D）-2或2(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.,【规范解答】（1）选B.当a0时,有-a=4,a=-4.当a0时,有a2=4,a=2.综上可知:a=-4或2.（2）根据图象，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b （x1）.点(1,1),(0,2)在射线上, 解得,左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(
12、x1);同理,x3时，函数的解析式为y=x-2(x3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0)，点(1,1)在抛物线上，,a+2=1,a=-1,1x3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2(1x3),综上，函数的解析式为y=,【互动探究】本例(2)的条件不变，求函数y=f(x)的值域.【解析】方法一：由函数y=f(x)的图象可得其值域为y1，所以函数y=f(x)的值域为y|y1.方法二：由函数y=f(x)的解析式可知,当x1时，y(1,+),当1x3时，y1,2;当x3时，y(1,+),所求函数的值域为1,+).,【反思感悟】分段函数是指自变量在不同的取值范围内
13、，其对应关系也不同的函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决.,【变式备选】1.设函数f(x)= 若f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( )（A）1（B）2 （C）3 （D）4,【解析】选B.由已知得 解得f(x)=当x0时，由f(x)=x得，x2+2x-2=x，得x=-2或x=1,又x0，故x=1舍去,当x0时，由f(x)=x得x=2,所以方程f(x)=x有两个解.,2.甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地.从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数解析式.,【解析】由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时.当货车从甲地前往乙地时,由题意，可知y=50x(0x3);当货车卸货时,y=150(3x4)；当货车从乙地返回甲地时,由题意，知y=150-60(x-4)(4x6.5).所以,求函数值【方法点睛】求函数值的类型及解法（1）求f(g(x)类型的函数值时，遵循先内后外的原则；（2）对于分段函数的求值问题，应根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分类讨论；,
