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1、 你的首选资源互助社区典型例题一例 1已知 Rcba,，求证 .22cabcba证明： 2，c，a22，三式相加，得 )()(2 cbcba，即 .22cabcba说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握典型例题二例 2 已知 cba、 是互不相等的正数，求证： abcc6)()()( 222 证明： 0a， ， bca2)(2同理可得： abcc2)(2， 三个同向不等式相加，得 bacbca6)()()( 222说明：此题中 、 互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立特别地， ba， c时，所得不等式仍不取等号典型例题三例 3 求证 )(2222 cbacba 分析：此问题的关键是“灵活
2、运用重要基本不等式 2，并能由 )(2cba这一特征，思索如何将 22进行变形，进行创造” 证明： ab，两边同加 2得 22)()(b即 )2ba 你的首选资源互助社区 )(212baba同理可得： )(2cc，)(2a三式相加即得 )(2222 cbacba 典型例题四例 4 若正数 a、 b满足 3ba，则 的取值范围是 解： R,， 2a，令 aby，得 032y， 3y，或 1（舍去） 92ab， ab的取值范围是 .,9说明：本题的常见错误有二一是没有舍去 1y；二是忘了还原，得出 ,3ab前者和后者的问题根源都是对 的理解，前者忽视了 .0ab后者错误地将 2y视为 因此，解题
3、过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之典型例题五例 5 （1 ）求 4162xy的最大值（2 ）求函数 的最小值，并求出取得最小值时的 x值（3 ）若 0,yx，且 2yx，求 2yx的最小值解：（1） 41621363)(222x.36即 y的最大值为 .3 你的首选资源互助社区当且仅当 1322x时，即 2x 时，取得此最大值（2 ） 4422y 314 的最小值为 3，当且仅当 12x，即 4)(2， 21x， x时取得此最小值（3 ） xy22 22)()(y即 2)(yx yx 即 2的最小值为 2当且仅当 4时取得此最小值说明：解这类最值，要选好常用
4、不等式，特别注意等号成立的条件典型例题六例 6求函数 xy321的最值分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件如： 0x，应分别对 0,x两种情况讨论，如果忽视 R的条件，就会发生如下错误： 621321)3(12xxy， .621maxy解：当 0x时， 0,，又 ，当且仅当 32，即 26x时，函数 x3有最小值 .62 .1maxy当 0时， 03,x，又 6)3(x，当且仅当 2，即 26时，函数 2最小值 .62 .61miny典型例题七 你的首选资源互助社区例 7求函数 9102xy的最值分析： 291)(2 x但等号成立时 8x，这是矛盾的！于是我们
5、运用函数 xy1在 时单调递增这一性质，求函数 )3(1ty的最值解：设 92x， ty102当 3t时，函数 ty递增故原函数的最小值为 310，无最大值典型例题八例 8求函数 452xy的最小值分析：用换元法，设 2t，原函数变形为 )2(1ty，再利用函数)2(1ty的单调性可得结果或用函数方程思想求解解：解法一：设 42xt，故 ).2(1452txy2112121212 )()()( ttttt ，设由 02121tt， ，得： 02，故： 1y函数 )(ty为增函数，从而 25解法二：设 242tx，知 )2(1ty，可得关于 t的二次方程 012yt，由根与系数的关系，得： 12
6、t 你的首选资源互助社区又 2t，故有一个根大于或等于 2，设函数 1)(2ytf，则 0)(f，即 0124y，故 25y说明：本题易出现如下错解： 452xx要知道，4122x无实数解，即 y，所以原函数的最小值不是 2错误原因是忽视了等号成立的条件当 a、 b为常数，且 ab为定值， b时， ab2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形 4)(2，当 之差最小时，再求原函数的最大（小）值典型例题九例 9 ,4,0baa求221ba的最小值分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值解：由 ,，得 .26)(22 a又 22ab得 ab16，即 4 21222 ba .2
7、54422ab故221的最小值是 5说明：本题易出现如下错解： 841212122 baba，故221ba的最小值是8错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有 a和 1b，但在 4的条件下，这两个式子不会同时取等号（ 31时 ， ） 排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾典型例题十例 10 已知： Rcba,，求证： cbacba分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明 你的首选资源互助社区证明： .2,2cbacabcab即同理： ,).(22cbacba.c说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式 ab2的变式；
8、(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性典型例题十一例 11 设 Redcba、 ，且 8edcba， 16222edcba，求 e的最大值分析：如何将 2与 用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键算术平均数与几何平均数定理 ab2两边同加 2b之后得 22)(1ba解：由 2)(1，则有 ,)(4)( 2222 dcdcdca.5160)8(416ee56时 ，当 最 大 值cb说明：常有以下错解： abcdabdae 4)(21622 ，48ccb故 abdeade4
9、2)8(,4)( 两式相除且开方得 51604)(162e 你的首选资源互助社区错因是两不等式相除，如 21,，相除则有 2不等式 22)(1ba是解决从“和”到“积”的形式从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：22ba或 )(1ba典型例题十二例 12已知： 0yx ，且： 1xy，求证： 22yx，并且求等号成立的条件分析：由已知条件 R， ，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有 yx，无法利用xy2，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现 )(1)(yx型，再行论证证明： ,1.0, xyyxQQ又yx2)(2yx)(.2)(2等号成立，当且仅当 )(yx时 .4,2,)(
10、22 yxyx6)(,1Q.yx由以上得 2,2y即当 6,6x时等号成立说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成 你的首选资源互助社区思维定式本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式要注意灵活运用均值不等式典型例题十三例 13 已知 0yx， ，且 302xy，求 xy的最大值分析：由 32，可得， )30(， 故 )0(3xxy ，令 xt2利用判别式法可求得 t（即 y）的最大值，但因为 有范围 30x的限制，还必须综合韦达定理展开讨论仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解解法一：由 302x，可得，
11、 )0(23x xy64)()(302264)(4x注意到 1624)()( xx 可得， 18y当且仅当 264x，即 时等号成立，代入 302xy中得 ，故 xy的最大值为18解法二： Ry,Q， xy2，代入 302x中得： 30解此不等式得 18y下面解法见解法一，下略说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷典型例题十四例 14 若 Rcba、 ，且 1cba，求证： 811cba分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个 你的首选资源互助社区“2”连乘而来，而 abca21证明： cb
12、aQ，又 0， ， 0，cb2，即 a21同理 a1， cb，81b当且仅当 3ca时，等号成立说明：本题巧妙利用 的条件，同时要注意此不等式是关于 cba、 的轮换式典型例题十五例 15 设 Rcba、 ，求证： )(2222cba 分析：本题的难点在于 2acb、 不易处理，如能找出 2ba与 之间的关系，问题可得到解决，注意到： ba )(2)()( 222，则容易得到证明证明： 2222 )()( aabba，Q，于是 2同理： )(2cbcb， )(22aca三式相加即得： )22 cba 说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于 、 的轮换式因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性典型例题十六例 16 已知： Rba、 （其中 表示正实数） 你的首选资源互助社区求证： bababa 1222分析：要证明的这一串不等式非常重要，2称为平方根， 2称为算术平均数， ab称为几何平均数， ba12称为调和平均数证明： 041222 ba2baaRb、Q 22a，当且仅当“ ba”时等号成立 0)(
