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1、第 1 页（共 15 页）勾股定理教学案例分析与设计数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2007级 指导教师 摘要：勾股定理是初等几何中最精彩最著名也是最有用的定理之一，在数学史上它是第一个真正重要的定理。本文首先指出勾股定理的历史背景和在中学中的教学背景，然后对中学教学中的案例进行分析，最后对勾股定理这一节知识教学设计。关键词：勾股定理；背景；案例分析；教学设计Abstract: Pythagorean proposition is one of the most fascinating, famous and useful theorems in elementary geometry.
2、 This paper firstly points out the historical background and teaching one of the Pythagorean theorem in middle school, and then gives the case analysis and design for the teaching of the Pythagorean theorem. Key words: gou-gu theorem; background ; Case analysis ; Teaching design勾股定理又叫毕达哥拉斯定理:在直角三角形中
3、，两直角边的平方和等于斜边的平方 1。据考证，人类对这条定理的认识，少说也有 4000 年！勾股定理是几何学的明珠，所以它充满魅力，千百年来人们对它的研究趋之若鹜；它对数学和科学的发展产生了巨大的促进力和深远的影响 2。我们不仅为之自豪，更要切实学好它，充分运用它。因此，对勾股定理的教学值得每一位数学教师的认真研讨。1. 勾股定理的教学背景和教学意义1.1 勾股定理的教学背景第 2 页（共 15 页）中学数学教科书北师版（八年级 上册） 勾股定理中，除了包括勾股理及逆定理的知识内容外，还介绍了关于这些内容的一些历史资料。体现了浓重的数学文化气息。 中国最早的一部数学著作 周髀算经的开头，记载这
4、一段周公向商高请教数学知识的对话，周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形矩的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么他的弦就必定是5，这个原理是在大禹治水的时候就总结出来了的啊。”所以这个定理在中国又称“商高定理” 3。从上面所引的这段对话中，我们可以看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于
5、斜边的平方。如图1-1所示：我们用勾a和股b分别表示直角三角形的两条直角边，用弦c来表示斜边，则可得：亦即： 3相传古希腊哲学家兼数学家毕达哥拉斯于公22+=勾 股 弦 22abc弦 c股 b 勾 a图 1-1第 3 页（共 15 页）元前550年首先发现了勾股定理，为了纪念他，在西方把勾股定理称为毕达哥拉斯定理。关于它，还有一个故事：当时，毕达哥拉斯和其弟子绞尽脑汁发现并证明出勾股定理，非常高兴，当即宰杀了100头牛祭神并宴请官员、富豪和名流。同时自豪地宣布勾股定理和证明方法。他的名字也迅速传遍世界各地。所以，当时就把勾股定理戏称为“百牛定理”。再后来就把“百牛定理”规范地称为毕达哥拉斯定理
6、。所以在西方亦称该定理为毕达哥拉斯定理 4。其实，我国古代人民对这一数学定理的发现和应用远比毕达哥拉斯早得多，如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的两周时期，比毕达哥拉斯要早五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例( )，所以现在数学界23+4=5把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的九章算术一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表述，书中的勾股章说:“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为： 亦即：22+=勾 股 弦22abc九章算术系统地总结了战国
7、、秦、汉以来的数学成就，共收集了 246 个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”(图 1-2)， 用形数结合得到方法，给出第 4 页（共 15 页）了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ；中间的小正方形边长为 b-a，则面积为 。12ab 2()ba于
8、是便可得如下的式子： 214()abc化简后便可得： 22亦即： 2cab赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。图 1-2第 5 页（共 15 页）MLHGFEDCBA图 1-3关于勾股定理的证明，现在保存下来最早的广为流传的文字资料是欧几里得（公元前 300 年左右）所著的几何原本第一卷中的命题 47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的正方形之和。”其证明是用面积来进行的。如图 1-3：在直角三角形 ABC 各边上向外
9、作正方形，连接 CD、FB。AC=AF,AB=AD,FAB=CAD FABCAD作 CLAD, 12FABACHFSSVCDDLM ALMEB同理 KGCS 22即 cabK第 6 页（共 15 页）值得指出的是，由于几何原本的广泛流传，欧几里得的证明是勾股定理所有证明中最为著名的，为此，希腊人称之为“已婚妇女的定理”；法国人称为“驴桥问题”；阿拉伯人称之为“新娘图”、“新娘的座椅”；在欧洲，又有人称之为“孔雀的尾巴”或“大风车”等，这些可能是从其几何图形得到的灵感 5吧！1.2勾股定理的教学意义勾股定理的内容出现在北师版八年级数学（上）的第一章勾股定理，本章的教学内容为：1.1 探索勾股定理
10、；1.2 能得到直角三角形吗；1.3 蚂蚁怎样做最近。实际就是勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，也是初中数学教学的重要内容之一。一方面勾股定理可以看作直角三角形的性质，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征(直角三角形的一个角是直角)转化为数量关系(三边符合 )，将形与数密切联系起来，解决了许多直角三角形22abc的计算问题；另一方面由于勾股定理在整个数学学科以及重大科技发现中的作用，理论上占有重要的地位它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，对学生的发展，尤其是科技观的形成，其影响是重大的。勾股定理的
11、发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值。是几何中重要定理，是学生后续学习的重要基础。2勾股定理的教学教法分析2.1 教材分析 勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形问题的主要根据之一，在实际生活中用途很大。教材注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，使学生理解勾股定理，以利于正确运用 6。2.2 学情分析第 7 页（共 15 页）初二学生思维比较活跃，在平时自主学习、合作探究能力训
12、练的基础上，具有了一定的归纳、总结能力及合作意识他们有参与实际问题活动的积极性，但技能和方法有待提高。学生在先前学习的基础上，已经积累了一些有关“空间与图形”的知识和经验，形成了一定程度的空间感，他们对周围事物感知、理解能力以及探索图形及其关系的愿望不断提高。加之学生在小学阶段就对勾股定理的内容有所了解，在学习中，学生能利用信息技术提问、猜想假设、制订计划、实验、收集数据、解释证明、巩固运用。2.3 教学目标分析 知识与能力目标：理解并熟记勾股定理的内容，能熟练地利用勾股定理解决实际问题；了解勾股定理的面积证法及其数形结合思想。 过程与方法目标：利用现代信息技术培养学生信息搜索和信息处理能力，
13、特别是进行自主学习的能力，通过探究勾股定理的发现与证明过程，增强由特殊到般的探究思维能力、逻辑推理能力，发展空间观念。 情感态度与价值观目标：通过学习勾股定理的知识，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；了解我国古代数学家在勾股定理的证明和应用上的历史贡献，增强热爱祖国、热爱科学的思想感情和民族自豪感 7。2.4 教法分析 勾股定理被誉为平面几何的奠基石，历来被视为平面几何教材体系中的精华，是数形结合的一个典范。新教材充分体现了新大纲的要求，强调了数学教学让学生动手实践的重要意义和作用，注重学生能力的发展 8。 在教法创新方面，除课本知识外，我们还注重下面一些知识
14、的教学。(1) 通过欣赏第 24 届国际数学家大会主会场图片和“赵爽弦图”，了解我国汉代数学家赵爽用“赵爽弦图”来证明勾股定理的历史。提出“在这样一次重量级的会议上，为什么要把赵爽弦图作为会徽? ”这样的问题，以设问式引入课题，激发学生学习兴趣和学习热情，增强求知欲，让学生对学习勾股定理有一种跃跃欲试的感觉，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。 第 8 页（共 15 页）(2) 介绍相传在 2500 年前古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，在地砖铺成的地面上发现勾股定理的背景知识。鼓励学生 多观察、多思考、多总结，用“发现”的眼光去看待身边的人和事。 (3) 注重学
15、生在学习过程中的自主体验。教学过程中每个活动，教师都给 学生留出了充分的活动时间和想象空间，鼓励每位学生动手将手中的直角三角形纸板拼成一个直角梯形等拼图活动，让学生积极参与到活动中来。将拼图活动、自主探索、小组内合作交流、积极思考等学习方式贯穿数学学习的始终，体现了新课程倡导的自主、合作、探究的学习方式，发挥学生的主体作用。 (4) 学生自己总结，畅谈课后感想、体会，教师给予补充，引导学生从数、形等角度理解勾股定理，又从能力、情感、态度等方面关注学生对课堂的整体感受。 “教师教，学生听，教师问，学生答”的传统教学模式，有些阻碍了现代教学的发展，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成学习知识的机
16、械化，形成懒惰、空洞的学习态度和数学上的“高分低能”，而新课标要求老师改变教学观念，认识到学生不再是接受的“容器”，而应是易燃的“火把”；学生不再是“配角”，而应是活动的“主演”。教师应把主动权交给学生，让学生提出问题、分析问题、动手操作、小组讨论、合作交流，使学生将看到的、想到的、想说的和认识到的都能尽情地表达；同时，教师应自始至终和学生一起共同探索，然后再进行点评与引导，把数学课变为“实验课”、“活动课”，使学生真正成为学习主人，充分发挥其学习潜能 9。3 勾股定理教学设计3.1创设情境，引入新课内容： 2002 年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示 2002 年世界数学家大会的会标；几何图形，人物：商高，毕达哥拉斯等等（图 2-1）。会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“ 勾股定理”nt
